Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Un círculo que contiene los puntos $B$ y $C$ se encuentra con los segmentos $BI$ y $CI$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Se sabe que $BP\cdot CQ=PI\cdot QI$. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $PQI$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Se dan un entero positivo $n$ y una secuencia infinita de fracciones propias $x_0 = \frac{a_0}{n}$ , $\ldots$ , $x_i=\frac{a_i}{n+i}$ , con $a_i < n+i$. Demuestre que existe un entero positivo $k$ y enteros $c_1$ , $\ldots$ , $c_k$ tales que \[ c_1 x_1 + \ldots + c_k x_k = 1. \]

Tienes $2$ columnas de $11$ cuadrados en el medio, a la derecha y a la izquierda tienes columnas de $9$ cuadrados (centradas en las de $11$ cuadrados), luego columnas de $7,5,3,1$ cuadrados. (Esta es la forma en que se explicó en el hilo original, http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=44430 ; de todos modos, creo que puedes entender cómo se ve) Varias torres están de pie sobre la mesa y golpean todos los cuadrados (una torre golpea el cuadrado en el que se encuentra, también). Demuestre que se pueden quitar varias torres de modo que no queden más de $11$ torres y aún así golpear toda la mesa.

En un triángulo $ABC$, sean $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ los puntos donde los excírculos tocan los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Demuestre que $A A_{1}$ , $B B_{1}$ y $C C_{1}$ son las longitudes de los lados de un triángulo.

Los organizadores de un congreso matemático encontraron que si acomodan a cualquier participante en una habitación, el resto puede ser acomodado en habitaciones dobles de manera que 2 personas que viven en cada habitación se conozcan entre sí. Demuestre que cada participante puede organizar una mesa redonda sobre teoría de grafos para sí mismo y un número par de otras personas, de modo que cada participante de la mesa redonda conozca a ambos vecinos.

Seis miembros del equipo de Fatalia para la Olimpiada Matemática Internacional son seleccionados de $13$ candidatos. En el TST los candidatos obtuvieron $a_1,a_2, \ldots, a_{13}$ puntos con $a_i \neq a_j$ si $i \neq j$. El líder del equipo ya tiene $6$ candidatos y ahora quiere verlos a ellos y a nadie más en el equipo. Con ese fin, construye un polinomio $P(x)$ y encuentra el potencial creativo de cada candidato mediante la fórmula $c_i = P(a_i)$. ¿Para qué mínimo $n$ puede siempre encontrar un polinomio $P(x)$ de grado no mayor que $n$ tal que el potencial creativo de los $6$ candidatos sea estrictamente mayor que el de los $7$ restantes?

Los enteros positivos $1,2,...,121$ están acomodados en los cuadrados de una tabla de $11 \times 11$. Dima encontró el producto de los números en cada fila y Sasha encontró el producto de los números en cada columna. ¿Podrían obtener el mismo conjunto de $11$ números?

Decimos que tres enteros diferentes son amigables si uno de ellos divide el producto de los otros dos. Sea $n$ un entero positivo.\na) Demuestre que, entre $n^2$ y $n^2+n$, exclusivo, no existe ningún trío de números amigables.\nb) Determine si para cada $n$ existe un trío de números amigables entre $n^2$ y $n^2+n+3\sqrt{n}$, exclusivo.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en un círculo con centro $O$. Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AD = DE = EC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle ADE$ y $\angle DEC$. Si $X \neq O$, demuestre que las líneas $OX$ y $DE$ son perpendiculares.

Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Encuentra todos los $n$ tales que $S(n)(S(n)-1)=n-1$.