La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. GreenTea2593 302 publicaciones GreenTea2593 #1 h 12 de julio de 2023, 2:37 AM Y el punto $L$ dentro del triángulo $ABC$ es tal que $CL = AB$ y $ \angle BAC + \angle BLC = 180^{\circ}$ . El punto $K$ en el lado $AC$ es tal que $KL \parallel BC$ . Demuestre que $AB = BK$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 1:57 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ABC$ es un triángulo, con inradio $r$ y circunradio $R.$ Demuestre que: \[ \sin \left( \frac{A}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{B}{2} \right) + \sin \left( \frac{B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{C}{2} \right) + \sin \left( \frac{C}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A}{2} \right) \leq \frac{5}{8} + \frac{r}{4 \cdot R}. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. GreenTea2593 302 publicaciones GreenTea2593 #1 h 12 de julio de 2023, 2:40 AM • 1 Y Y por PRMOisTheHardestExam Dos jugadores juegan un juego. Tienen $n > 2$ montones que contienen $n^{10}+1$ piedras cada uno. Un movimiento consiste en eliminar todos los montones excepto uno y dividir el montón restante en $n$ montones no vacíos. El jugador que no puede realizar un movimiento pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el jugador que mueve primero o su adversario? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre los enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_{29}$ tales que al menos uno de ellos sea mayor que 1988, de modo que \[ x^2_1 + x^2_2 + \ldots x^2_{29} = 29 \cdot x_1 \cdot x_2 \ldots x_{29}. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 10:05 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $1 \leq k \leq n.$ Considere todas las sucesiones finitas de enteros positivos con suma $n.$ Encuentre $T(n,k),$ el número total de términos de tamaño $k$ en todas las sucesiones. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ ABC,$ elija puntos cualesquiera $ K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK$ y $ F \in KL.$ Si $ E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ y $ E$ denotan las áreas de los triángulos $ AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN$ y $ ABC$ respectivamente, demuestre que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt [6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:08 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) Cuatro esferas de radio 1 son mutuamente tangentes, tres descansando sobre el suelo y la cuarta descansando sobre las otras. Un tetraedro, cada una de cuyas aristas tiene longitud $ s,$ está circunscrito alrededor de las esferas. Encuentre el valor de $ s.$ ii.) Suponga que $ ABCD$ y $ EFGH$ son caras opuestas de un sólido rectangular, con $ \angle DHC = 45^{\circ}$ y $ \angle FHB = 60^{\circ}.$ Encuentre el coseno de $ \angle BHD.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de septiembre de 2008, 7:09 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el número total de enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = \left[x \right] + \left[2 \cdot x \right] + \left[\frac{5 \cdot x}{3} \right] + \left[3 \cdot x \right] + \left[4 \cdot x \right] \] para $0 \leq x \leq 100.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheBarioBario 132 publicaciones TheBarioBario #1 h 23 de junio de 2022, 12:29 PM • 2 Y Y por Mango247, cubres Sea $k\geqslant 2$ un entero, y $a,b$ números reales. Demuestre que $a-b$ es un entero divisible por $k$ si y solo si para todo entero positivo $n$ $$\lfloor an \rfloor \equiv \lfloor bn \rfloor \ (mod \ k)$$ Propuesto por Navid Safaei Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por TheBarioBario, 23 de junio de 2022, 12:31 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:13 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $Z_{m,n}$ el conjunto de todos los pares ordenados $(i,j)$ con $i \in {1, \ldots, m}$ y $j \in {1, \ldots, n}.$ Sea también $a_{m,n}$ el número de todos aquellos subconjuntos de $Z_{m,n}$ que no contienen 2 pares ordenados $(i_1,j_1)$ y $(i_2,j_2)$ con $|i_1 - i_2| + |j_1 - j_2| = 1.$ Entonces demuestre, para todos los enteros positivos $m$ y $k,$ que \[ a^2_{m, 2 \cdot k} \leq a_{m, 2 \cdot k - 1} \cdot a_{m, 2 \cdot k + 1}. \] Z K Y