Hay $ 2016 $ posiciones marcadas alrededor de un círculo, con una ficha en una de ellas. Un movimiento legítimo es mover la ficha ya sea 1 posición o 4 posiciones desde su ubicación, en el sentido de las agujas del reloj. La restricción es que la ficha no puede ocupar la misma posición más de una vez. Los jugadores $ A $ y $ B $ se turnan para hacer movimientos. El jugador $ A $ tiene el primer movimiento. El primer jugador que no puede hacer un movimiento legítimo pierde. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Para cada $k= 1,2, \ldots$ sea $s_k$ el número de pares $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $kx + (k+1)y = 1001 - k$ con $x$, $y$ enteros no negativos. Encuentra $s_1 + s_2 + \cdots + s_{200}$.

Sea $\overline{abcd}$ uno de los 9999 números $0001, 0002, 0003, \ldots, 9998, 9999$. Sea $\overline{abcd}$ un número especial si $ab-cd$ y $ab+cd$ son cuadrados perfectos, $ab-cd$ divide a $ab+cd$ y también $ab+cd$ divide a $abcd$. Por ejemplo 2016 es especial. Encuentra todos los números especiales $\overline{abcd}$. Nota: Si $\overline{abcd}=0206$, entonces $ab=02$ y $cd=06$.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Comienza con un conjunto de $1000$ rectángulos de $1\times 2$. Un movimiento consiste en elegir dos rectángulos (un rectángulo puede consistir en uno o varios rectángulos de $1\times 2$ combinados) que comparten una longitud de lado común y combinar esos dos rectángulos en un rectángulo a lo largo de esos lados que comparten esa longitud común. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Alice se mueve primero. Describir una estrategia ganadora para Bob.

Hallar todos los pares $(a,b)$ de enteros con $a>1$ y $b>1$ tales que $a$ divide a $b+1$ y $b$ divide a $a^3-1$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(xy)=\max\{f(x+y),f(x) f(y)\} ] para todos los números reales $x$ e $y$.

Llamamos a una permutación de los enteros $(1,2,\ldots,n)$ $d$ - ordenada si no contiene una subsucesión decreciente de longitud $d$. Demostrar que para cada $d=2,3,\ldots,n$, el número de permutaciones $d$ - ordenadas de $(1,2,\ldots,n)$ es a lo sumo $(d-1)^{2n}$.

Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ nueve puntos en el espacio tales que $ABCDE$, $ABFGH$ y $GFCDI$ son pentágonos regulares con lado de longitud $1$. Determinar las longitudes de los lados del triángulo $EHI$.

Hallar todos los pares $(a, b)$ de números reales con la siguiente propiedad: Dados números reales $c$ y $d$, si ambas ecuaciones $x^2+ax+1=c$ y $x^2+bx+1=d$ tienen raíces reales, entonces la ecuación $x^2+(a+b)x+1=cd$ tiene raíces reales.

Considere un tablero de $m*n$. En cada casilla hay un número entero no negativo asignado. Una operación consiste en elegir dos casillas con $1$ lado en común, y sumar a estos $2$ números el mismo número entero (puede ser negativo), de forma que ambos resultados sean no negativos. ¿Qué condiciones deben satisfacerse inicialmente en la asignación de las casillas, para tener, después de algunas operaciones, el número $0$ en cada casilla?