Olimpiada Cono Sur 1992 Problema 5
En un $\triangle {ABC}$, considere un punto $E$ en $BC$ tal que $AE \perp BC$. Probar que $AE=\frac{bc}{2r}$, donde $r$ es el radio de la circunferencia circunscrita, $b=AC$ y $c=AB$.
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Olimpiada Cono Sur 1992 Problema 4
Probar que no existen números enteros positivos $x,y,z$ tales que $x^2+y^2=3z^2$.
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Olimpiada Cono Sur 1992 Problema 3
Considere el conjunto $S$ de $100$ números: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ... ; \frac{1}{100}$. Dos números cualesquiera, $a$ y $b$, son eliminados en $S$, y el número $a+b+ab$ es añadido. Ahora, hay $99$ números en $S$. Después de hacer esta operación $99$ veces, solo hay $1$ número en $S$. ¿Qué valores puede tomar este número?
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Olimpiada Cono Sur 1992 Problema 2
Sea $P$ un punto fuera del círculo $C$. Hallar dos puntos $Q$ y $R$ en el círculo, tales que $P, Q$ y $R$ son colineales y $Q$ es el punto medio del segmento $PR$. (Discutir el número de soluciones).
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Olimpiada Cono Sur 1992 Problema 1
Hallar un número entero positivo $n$ tal que, si se pone un número $2$ a la izquierda y un número $1$ a la derecha, el nuevo número es igual a $33n$.
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Olimpiada Balcánica Junior 2011 Problema 4
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y puntos $E$ y $F$ en los lados $AB,CD$ tales que $\tfrac{AB}{AE}=\tfrac{CD}{DF}=n$. Si $S$ es el área de $AEFD$ muestra que ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2}}$
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Olimpiada Balcánica Junior 2011 Problema 3
Sea $n>3$ un entero positivo. El triángulo equilátero ABC se divide en $n^2$ triángulos equiláteros congruentes más pequeños (con lados paralelos a sus lados). Sea $m$ el número de rombos que contienen dos triángulos equiláteros pequeños y $d$ el número de rombos que contienen ocho triángulos equiláteros pequeños. Encuentra la diferencia $m-d$ en términos de $n$.
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Olimpiada Balcánica Junior 2011 Problema 2
Encuentra todos los primos $p$ tales que existan enteros positivos $x,y$ que satisfacen $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$
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Olimpiada Balcánica Junior 2011 Problema 1
Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que: $\displaystyle\prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$
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Olimpiada Internacional Zhautykov 2010 Problema 6
Sea $ABC$ un triángulo arbitrario ( $AB \neq BC \neq AC \neq AB$ ) Y O,I,H su circuncentro, incentro y ortocentro (punto de intersección de las alturas). Demuestra que 1) $\angle OIH > 90^0$ (2 puntos) 2) $\angle OIH >135^0$ (7 puntos) bolas para 1) y 2) no aditivas.
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