La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el número total de enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = \left[x \right] + \left[2 \cdot x \right] + \left[\frac{5 \cdot x}{3} \right] + \left[3 \cdot x \right] + \left[4 \cdot x \right] \] para $0 \leq x \leq 100.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:15 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) El polinomio $x^{2 \cdot k} + 1 + (x+1)^{2 \cdot k}$ no es divisible por $x^2 + x + 1.$ Encuentre el valor de $k.$ ii.) Si $p,q$ y $r$ son raíces distintas de $x^3 - x^2 + x - 2 = 0,$ encuentre el valor de $p^3 + q^3 + r^3.$ iii.) Si $r$ es el residuo cuando cada uno de los números 1059, 1417 y 2312 se divide por $d,$ donde $d$ es un entero mayor que uno, entonces encuentre el valor de $d-r.$ iv.) ¿Cuál es el entero positivo impar más pequeño $n$ tal que el producto de \[ 2^{\frac{1}{7}}, 2^{\frac{3}{7}}, \ldots, 2^{\frac{2 \cdot n + 1}{7}} \] sea mayor que 1000? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:13 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $Z_{m,n}$ el conjunto de todos los pares ordenados $(i,j)$ con $i \in {1, \ldots, m}$ y $j \in {1, \ldots, n}.$ Sea también $a_{m,n}$ el número de todos aquellos subconjuntos de $Z_{m,n}$ que no contienen 2 pares ordenados $(i_1,j_1)$ y $(i_2,j_2)$ con $|i_1 - i_2| + |j_1 - j_2| = 1.$ Entonces demuestre, para todos los enteros positivos $m$ y $k,$ que \[ a^2_{m, 2 \cdot k} \leq a_{m, 2 \cdot k - 1} \cdot a_{m, 2 \cdot k + 1}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:20 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) Considere un círculo $K$ con diámetro $AB;$ con un círculo $L$ tangente a $AB$ y a $K$, y con un círculo $M$ tangente al círculo $K$, al círculo $L$ y a $AB.$ Calcule la razón del área del círculo $K$ al área del círculo $M.$ ii.) En el triángulo $ABC, AB = AC$ y $\angle CAB = 80^{\circ}.$ Si los puntos $D, E$ y $F$ yacen sobre los lados $BC, AC$ y $AB,$ respectivamente, y $CE = CD$ y $BF = BD,$ entonces encuentre la medida del $\angle EDF.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ltf0501 191 publicaciones ltf0501 #1 h 21 de junio de 2022, 5:24 AM Y por Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $I$ como su incentro. El incírculo toca a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente. $Y$ , $Z$ son los puntos medios de $DF$ , $DE$ respectivamente, y $S$ , $V$ son las intersecciones de las rectas $YZ$ y $BC$ , $AD$ , respectivamente. $T$ es la segunda intersección de $\odot(ABC)$ y $AS$ . $K$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AT$ . Demuestre que $KV$ es paralelo a $DT$ . Propuesto por ltf0501 Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ltf0501 191 publicaciones ltf0501 #1 h 23 de junio de 2022, 9:33 PM Y por Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $P$ un punto arbitrario en el segmento $BC$ . Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ corta a $AB$ en $P_b$ . Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ corta a $AC$ en $P_c$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $AP_bP_c$ pasa por un punto fijo distinto de $A$ cuando $P$ varía en el segmento $BC$ . Propuesto por ltf0501 Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:56 PM • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que los números $A, B$ y $C$ son iguales, donde: - $A=$ número de formas en que podemos cubrir un rectángulo de $2 \times n$ con rectángulos de $2 \times 1$. - $B=$ número de sucesiones de unos y doses que suman $n$. - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k}{2 \cdot k}$ si $n = 2 \cdot m,$ y - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k + 1}{2 \cdot k + 1}$ si $n = 2 \cdot m + 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:19 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se propone particionar un conjunto de enteros positivos en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ sujetos a las condiciones: i.) 1 está en $ A$; ii.) no existen dos elementos distintos de $ A$ cuya suma sea de la forma $ 2^k + 2, k = 0,1,2, \ldots$; y iii.) no existen dos elementos distintos de $ B$ cuya suma sea de esa forma. Demuestre que esta partición puede realizarse de manera única y determine a qué subconjuntos pertenecen 1987, 1988 y 1989. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:53 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CSJL 55 publicaciones CSJL #1 h 23 de junio de 2022, 10:57 a. m. • 1 Y Y por TheBarioBario Sea $S$ el conjunto de puntos de red cuyas coordenadas son ambas enteros positivos no mayores que $2022$. Es decir, $S=\{(x, y) \mid x, y\in \mathbb{N}, \, 1\leq x, y\leq 2022\}$. Colocamos una tarjeta con un lado dorado y un lado negro en cada punto de $S$. Llamamos a un rectángulo "bueno" si: (i) Todos sus lados son paralelos a los ejes y tienen coordenadas enteras positivas no mayores que $2022$. (ii) Las tarjetas en sus esquinas superior izquierda e inferior derecha muestran el lado dorado, y las tarjetas en sus esquinas superior derecha e inferior izquierda muestran el lado negro. Cada "movimiento" consiste en elegir un rectángulo bueno y voltear simultáneamente todas las tarjetas en sus cuatro esquinas. Encuentre el número máximo posible de movimientos que se pueden realizar, o demuestre que se pueden realizar infinitos movimientos. Propuesto por CSJL Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:12 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un entero positivo se denomina número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Así, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestre que existen infinitos números doble que son cuadrados perfectos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 13 de sep. de 2008, 8:33 a. m. Z K Y