En cada vértice de un $n$ -gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada $paso$ se pueden intercambiar dos fichas vecinas cualesquiera. Encuentra el menor número de pasos necesario para alcanzar la disposición donde cada ficha se mueve $[\frac{n}{2}]$ posiciones en el sentido de las agujas del reloj desde su posición inicial.

Los enteros positivos $1,2,...,n$ están escritos en una pizarra ( $n >2$ ). Cada minuto se borran dos números y se escribe el menor divisor primo de su suma. Al final, solo queda el número 97. Encuentra el menor $n$ para el que es posible.

Un rectángulo formado por las líneas de papel cuadriculado se divide en figuras de tres tipos: triángulos rectángulos isósceles (1) con base de dos unidades, cuadrados (2) con lado unitario y paralelogramos (3) formados por dos lados y dos diagonales de cuadrados unitarios (las figuras pueden estar orientadas de cualquier manera). Demuestra que el número de figuras del tercer tipo es par.

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con $AB=AD$, los puntos $M$ y $N$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de modo que $MN=BM+DN$. Las líneas $AM$ y $AN$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $ABCD$ nuevamente en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el ortocentro del triángulo $APQ$ se encuentra en el segmento $MN$.

Encuentra todos los primos $p,q$ tal que $p^3-q^7=p-q$.

Sea $\mathbb{R^+}$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ tales que $$xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x))$$ para todos los $x, y \in\mathbb{R^+}.$

Sea $p$ un número primo. Troy y Abed están jugando un juego. Troy escribe un entero positivo $X$ en el tablero y le da una secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de enteros positivos a Abed. Abed ahora hace una secuencia de movimientos. El $n$ - ésimo movimiento es el siguiente: $$\text{ Reemplazar } Y \text{ actualmente escrito en el tablero con } Y + a_n \text{ o } Y \cdot a_n.$$ Abed gana si en algún momento el número en el tablero es un múltiplo de $p$ . Determina si Abed puede ganar, independientemente de las elecciones de Troy, si $a) p = 10^9 + 7$ ; $b) p = 10^9 + 9$ . Nota : Tanto $10^9 + 7$ como $10^9 + 9$ son primos.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Una $n$ - tupla $(a_1, a_2,\ldots , a_n)$ se llama permutación si cada número del conjunto $\{1, 2, . . . , n\}$ aparece en ella exactamente una vez. Para una permutación $(p_1, p_2, . . . , p_n)$ , definimos su $k$ - mutación como la $n$ - tupla $$(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, . . . , p_n + p_{n+k}),$$ donde los índices se toman módulo $n$ . Encuentra todos los pares $(n, k)$ tales que cada dos permutaciones distintas tienen $k$ - mutaciones distintas. Nota : Por ejemplo, cuando $(n, k) = (4, 2)$ , la $2$ - mutación de $(1, 2, 4, 3)$ es $(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5)$ .

Sea $ABCD$ un paralelogramo tal que $|AB| > |BC|$ . Sea $O$ un punto en la recta $CD$ tal que $|OB| = |OD|$ . Sea $\omega$ un círculo con centro $O$ y radio $|OC|$ . Si $T$ es la segunda intersección de $\omega$ y $CD$ , demuestra que $AT, BO$ y $\omega$ son concurrentes.

Sean \(a,b,c\) números reales positivos tales que \(ab+bc+ac = a+b+c\) . Demuestra la siguiente desigualdad: \[\sqrt{a+\frac{b}{c}} + \sqrt{b+\frac{c}{a}} + \sqrt{c+\frac{a}{b}} \leq \sqrt{2} \cdot \min \left\{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\ \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right\}.\]