Se dan dos tipos de mosaicos, representados en la figura siguiente. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que un tablero de $n\times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios se puede cubrir sin huecos con estos dos tipos de mosaicos (se permiten rotaciones y reflejos) de modo que no se superpongan dos mosaicos y ninguna parte de ningún mosaico cubra un área fuera del tablero de $n\times n$.

Un entero positivo $k\geqslant 3$ se llama fibby si existe un entero positivo $n$ y enteros positivos $d_1 < d_2 < \ldots < d_k$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ $d_{j+2}=d_{j+1}+d_j$ para cada $j$ que satisface $1\leqslant j \leqslant k-2$ , $\bullet$ $d_1, d_2, \ldots, d_k$ son divisores de $n$ , $\bullet$ cualquier otro divisor de $n$ es menor que $d_1$ o mayor que $d_k$ . Encuentra todos los números fibby.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ respectivamente. Sea $F$ el punto tal que $D$ es el punto medio de $\overline{EF}$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $FDB$ . Sea $G$ un punto en el segmento $\overline{CD}$ tal que el punto medio de $\overline{BG}$ se encuentra en $\Gamma$ . Demuestra que el cuadrilátero $BHGC$ es cíclico.

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes racionales, de grado $d \ge 2$ , definimos la secuencia de conjuntos $f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots$ como $f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ , $f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))$ para $n\ge 0$ . (Dado un conjunto $S$ , escribimos $f(S)$ para el conjunto $\{f(x)\mid x\in S\})$ . Sea $f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})$ el conjunto de números que están en todos los conjuntos $f^n(\mathbb{Q})$ , $n\geq 0$ . Demostrar que $f^{\omega}(\mathbb{Q})$ es un conjunto finito.

Sea $n$ un entero positivo dado. Se dice que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano está conectado si para cada par de puntos $R, S\in K$ , existe un entero positivo $\ell$ y una secuencia $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$ , donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$ . Para tal conjunto $K$ , definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conectados $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano?

Determinar si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ con dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, satisfaciendo las siguientes condiciones: \n(i) $A$ es un punto entero (es decir, $a_1$ y $a_2$ son enteros); \n(ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$ ; \n(iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todos los puntos enteros $(n_1, n_2)$ en el plano distintos de $A$ ; \n(iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todos los puntos enteros $(x_1, x_2)$ en el plano distintos de $B$ .

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin ningún par de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$ , defina $\omega_1$ como el círculo que toca el cuadrilátero externamente, y que es tangente a las líneas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$ de modo que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$ ) . Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$ . Demostrar que las líneas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y sólo si las líneas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$ , encontrar el mayor número real $C_n$ con la siguiente propiedad. Dado cualquier $n$ funciones con valores reales $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ definidas en el intervalo cerrado $0 \le x \le 1$ , uno puede encontrar números $x_1, x_2, \cdots x_n$ , tal que $0 \le x_i \le 1$ satisfaciendo \[|f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots f_n(x_n)-x_1x_2\cdots x_n| \ge C_n\]

Para un conjunto finito no vacío de primos $P$ , sea $m(P)$ el mayor número posible de enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos un miembro de $P$ . \n(i) Demostrar que $|P|\le m(P)$ , con igualdad si y sólo si $\min(P)>|P|$ . \n(ii) Demostrar que $m(P)<(|P|+1)(2^{|P|}-1)$ . (El número $|P|$ es el tamaño del conjunto $P$ )

Para un entero $n \geq 3$ definimos la secuencia $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ como la secuencia de exponentes en la factorización prima de $n! = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \ldots p_k^{\alpha_k}$, donde $p_1 < p_2 < \ldots < p_k$ son primos. Determine todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ es una progresión geométrica.