Determine todos los enteros $n \geq 2$ tales que existe una permutación $x_0, x_1, \ldots, x_{n - 1}$ de los números $0, 1, \ldots, n - 1$ con la propiedad de que los $n$ números $$x_0, \hspace{0.3cm} x_0 + x_1, \hspace{0.3cm} \ldots, \hspace{0.3cm} x_0 + x_1 + \ldots + x_{n - 1}$$ son distintos por pares módulo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$, circuncentro $O$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean las tangentes a $\Gamma$ en $B$ y $C$ que se encuentran en $D$, y sea la línea $AO$ que intersecta a $BC$ en $E$. Denotemos el punto medio de $BC$ por $M$ y sea $AM$ que encuentra a $\Gamma$ nuevamente en $N \neq A$. Finalmente, sea $F \neq A$ un punto en $\Gamma$ tal que $A, M, E$ y $F$ son concíclicos. Demuestre que $FN$ biseca el segmento $MD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ y circuncírculo $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco más corto $BC$ de $\Gamma$, y sea $D$ la intersección de los rayos $AC$ y $BM$. Sea $E \neq C$ la intersección de la bisectriz interna del ángulo $ACB$ y el circuncírculo del triángulo $BDC$. Asumamos que $E$ está dentro del triángulo $ABC$ y que hay una intersección $N$ de la línea $DE$ y el círculo $\Gamma$ tal que $E$ es el punto medio del segmento $DN$. Muestre que $N$ es el punto medio del segmento $I_B I_C$, donde $I_B$ e $I_C$ son los excentros de $ABC$ opuestos a $B$ y $C$, respectivamente.

Sea $n \geq 3$ un entero. Una secuencia $P_1, P_2, \ldots, P_n$ de puntos distintos en el plano se llama buena si no hay tres de ellos colineales, la polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ no se auto-intersecta y el triángulo $P_iP_{i + 1}P_{i + 2}$ está orientado en sentido antihorario para cada $i = 1, 2, \ldots, n - 2$. Para cada entero $n \geq 3$, determine el entero $k$ más grande posible con la siguiente propiedad: existen $n$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en el plano para los cuales hay $k$ permutaciones distintas $\sigma : \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}$ tales que $A_{\sigma(1)}, A_{\sigma(2)}, \ldots, A_{\sigma(n)}$ es buena. (Una polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ consta de los segmentos $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_{n - 1}P_n$.)

Hay una lámpara en cada celda de un tablero de $2017 \times 2017$. Cada lámpara está encendida o apagada. Una lámpara se llama mala si tiene un número par de vecinos que están encendidos. ¿Cuál es el número posible más pequeño de lámparas malas en dicho tablero? (Dos lámparas son vecinas si sus respectivas celdas comparten un lado.)

Determine la constante real posible más pequeña $C$ tal que la desigualdad $$|x^3 + y^3 + z^3 + 1| \leq C|x^5 + y^5 + z^5 + 1|$$ se cumple para todos los números reales $x, y, z$ que satisfacen $x + y + z = -1$.

Determine todos los pares de polinomios $(P, Q)$ con coeficientes reales que satisfacen $$P(x + Q(y)) = Q(x + P(y))$$ para todos los números reales $x$ e $y$.

Determine el valor posible más pequeño de $$|2^m - 181^n|,$$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sea $P$ la intersección de las líneas $CE$ y $BD$. Asuma que $\angle PAD = \angle ACB$ y $\angle CAP = \angle EDA$. Demuestre que los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ son colineales con $P$.

Sea $n \geq 3$ un entero. Un etiquetado de los $n$ vértices, los $n$ lados y el interior de un $n$-gono regular por $2n + 1$ enteros distintos se llama memorable si se cumplen las siguientes condiciones: (a) Cada lado tiene una etiqueta que es la media aritmética de las etiquetas de sus puntos extremos. (b) El interior del $n$-gono tiene una etiqueta que es la media aritmética de las etiquetas de todos los vértices. Determine todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe un etiquetado memorable de un $n$-gono regular que consta de $2n + 1$ enteros consecutivos.