La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 8:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $k$ un entero positivo y $M_k$ el conjunto de todos los enteros que están entre $2 \cdot k^2 + k$ y $2 \cdot k^2 + 3 \cdot k,$ ambos incluidos. ¿Es posible particionar $M_k$ en 2 subconjuntos $A$ y $B$ tales que \[ \sum_{x \in A} x^2 = \sum_{x \in B} x^2. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Johann Peter Dirichlet 377 publicaciones Johann Peter Dirichlet #1 h 17 de mar. de 2006, 10:50 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo con \[\angle BAC = 30^\circ \] \[\angle CAD = 20^\circ\] \[\angle ABD = 50^\circ\] \[\angle DBC = 30^\circ\] Si las diagonales se intersecan en $P$ , demuestre que $PC = PD$ . Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 16 de ago. de 2012, 8:40 a. m. Razón: Editado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Johann Peter Dirichlet 377 publicaciones Johann Peter Dirichlet #1 h 6 de mar. de 2006, 2:40 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo. $D$ es el punto medio de $AB$, $E$ es un punto en el lado $BC$ tal que $BE = 2 EC$ y $\angle ADC = \angle BAE$. Encuentre $\angle BAC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Johann Peter Dirichlet 377 publicaciones Johann Peter Dirichlet #1 h 3 de mar. de 2006, 2:45 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una hoja de papel rectangular tiene un borde superior $AD$ . Una línea $L$ desde $A$ hasta el borde inferior forma un ángulo $x$ con la línea $AD$ . Queremos trisecar $x$ . Tomamos $B$ y $C$ en el borde vertical que pasa por $A$ tales que $AB = BC$ . Luego doblamos el papel de modo que $C$ vaya a un punto $C'$ en la línea $L$ y $A$ vaya a un punto $A'$ en la línea horizontal que pasa por $B$ . El doblez lleva $B$ a $B'$ . Demuestre que $AA'$ y $AB'$ son los trisectores requeridos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Johann Peter Dirichlet 377 publicaciones Johann Peter Dirichlet #1 h 4 de mar. de 2006, 3:00 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCDE$ un pentágono regular. La estrella $ACEBD$ tiene área 1. $AC$ y $BE$ se cortan en $P$, mientras que $BD$ y $CE$ se cortan en $Q$. Encuentre el área de $APQD$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. hydo2332 435 publicaciones hydo2332 #1 h 16 de mar. de 2021, 6:18 a. m. • 2 Y Y por betongblander, kingu Sean $r_A,r_B,r_C$ rayos desde el punto $P$. Defina los círculos $w_A,w_B,w_C$ con centros $X,Y,Z$ tales que $w_A$ sea tangente a $r_B,r_C$, $w_B$ sea tangente a $r_A,r_C$ y $w_C$ sea tangente a $r_A,r_B$. Suponga que $P$ se encuentra dentro del triángulo $XYZ$, y sean $s_A,s_B,s_C$ las tangentes internas a los círculos $w_B$ y $w_C$; $w_A$ y $w_C$; $w_A$ y $w_B$ que no contienen los rayos $r_A,r_B,r_C$ respectivamente. Demuestre que $s_A, s_B, s_C$ concurren en un punto $Q$, y también que $P$ y $Q$ son conjugados isotómicos. PD: Los rayos pueden ser líneas y el problema sigue siendo cierto. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de octubre de 2017, 4:32 PM • 5 Y Y por Bobur, raghoodah1m, centslordm, Adventure10, Mango247 Determine todos los enteros $a, b, c$ que satisfacen las identidades: $a + b + c = 15$ $(a - 3)^3 + (b - 5)^3 + (c -7)^3 = 540$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de abril de 2020, 8:04 a. m. Y por A Una hoja de papel rectangular $ABCD$, de área $1$, se dobla a lo largo de su diagonal $AC$ y luego se desdobla, después se dobla de manera que el vértice $A$ coincida con el vértice $C$ y luego se desdobla, dejando el pliegue $MN$, como se muestra a continuación. a) Demuestre que el cuadrilátero $AMCN$ es un rombo. b) Si la diagonal $AC$ es el doble del ancho $AD$, ¿cuál es el área del rombo $AMCN$? //cdn.artofproblemsolving.com/images/8/7/5/87596f7dc14b51b32eea0f09a20bbdceae3db2f5.png Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YLG_123 217 publicaciones YLG_123 #1 h 12 de octubre de 2024, 12:55 PM Y por Una partición de un conjunto \( A \) es una familia de subconjuntos no vacíos de \( A \), tal que cualesquiera dos subconjuntos distintos en la familia son disjuntos, y la unión de todos los subconjuntos es igual a \( A \). Decimos que una partición de un conjunto de enteros \( B \) es separada si cada subconjunto en la partición no contiene enteros consecutivos. Demuestre que, para todo entero positivo \( n \), el número de particiones del conjunto \( \{1, 2, \dots, n\} \) es igual al número de particiones separadas del conjunto \( \{1, 2, \dots, n+1\} \). Por ejemplo, \( \{\{1,3\}, \{2\}\} \) es una partición separada del conjunto \( \{1,2,3\} \). Por otro lado, \( \{\{1,2\}, \{3\}\} \) es una partición del mismo conjunto, pero no es separada dado que \( \{1,2\} \) contiene enteros consecutivos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YLG_123 217 publicaciones YLG_123 #1 h 12 de octubre de 2024, 12:51 PM Y por Sea \( a_1 \) un entero mayor o igual a 2. Considere la sucesión tal que su primer término es \( a_1 \), y para \( a_n \), el \( n \)-ésimo término de la sucesión, tenemos \[ a_{n+1} = \frac{a_n}{p_k^{e_k - 1}} + 1, \] donde \( p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \) es la factorización en primos de \( a_n \), con \( 1 < p_1 < p_2 < \cdots < p_k \), y \( e_1, e_2, \dots, e_k \) enteros positivos. Por ejemplo, si \( a_1 = 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 \), los siguientes dos términos de la sucesión son \[ a_2 = \frac{a_1}{23^{1-1}} + 1 = \frac{2024}{1} + 1 = 2025 = 3^4 \cdot 5^2; \] \[ a_3 = \frac{a_2}{5^{2-1}} + 1 = \frac{2025}{5} + 1 = 406. \] Determine para qué valores de \( a_1 \) la sucesión es eventualmente periódica y cuáles son todos los periodos posibles. Nota: Sea \( p \) un entero positivo. Una sucesión \( x_1, x_2, \dots \) es eventualmente periódica con periodo \( p \) si \( p \) es el entero positivo más pequeño tal que existe un \( N \geq 0 \) que satisface \( x_{n+p} = x_n \) para todo \( n > N \). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por YLG_123, 9 de abril de 2025, 8:51 AM Razón: error tipográfico Z K Y