Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$f(x^2 + f(x)f(y)) = xf(x + y)$$ para todos los números reales $x$ e $y$.

Una secuencia $(u_{n})$ está definida por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{para } n=1,\ldots \] Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el entero más pequeño $\leq x)$

Demostrar que para cada entero positivo $k$ existe una base numérica $b$ junto con $k$ ternas de números de Fibonacci $(F_u,F_v,F_w)$ tales que cuando se escriben en base $b$, su concatenación es también un número de Fibonacci escrito en base $b$. (Los números de Fibonacci están definidos por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para todos los enteros positivos $n$.)

Determinar todos los polinomios $f$ con coeficientes enteros tales que $f(p)$ es un divisor de $2^p-2$ para cada primo impar $p$.

Fije enteros $n\ge k\ge 2$. Llamamos a una colección de monedas con valores enteros $n-diversa$ si ningún valor ocurre en ella más de $n$ veces. Dada tal colección, un número $S$ es $n-alcanzable$ si esa colección contiene $n$ monedas cuya suma de valores es igual a $S$. Encuentre el entero positivo más pequeño $D$ tal que para cualquier colección $n$ - diversa de $D$ monedas haya al menos $k$ números que sean $n$ - alcanzables.

Llame a un punto en el plano cartesiano con coordenadas enteras un $punto$ $reticular$. Dado un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos reticulares, realizamos repetidamente la siguiente operación: dados dos puntos reticulares distintos $A, B$ en $\mathcal{S}$ y dos puntos reticulares distintos $C, D$ no en $\mathcal{S}$ tales que $ACBD$ es un paralelogramo con $AB > CD$, reemplazamos $A, B$ por $C, D$. Demuestre que solo se pueden realizar un número finito de tales operaciones.

Llame a un punto en el plano cartesiano con coordenadas enteras un $punto$ $reticular$. Dado un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos reticulares, realizamos repetidamente la siguiente operación: dados dos puntos reticulares distintos $A, B$ en $\mathcal{S}$ y dos puntos reticulares distintos $C, D$ no en $\mathcal{S}$ tales que $ACBD$ es un paralelogramo con $AB > CD$, reemplazamos $A, B$ por $C, D$. Demuestre que solo se pueden realizar un número finito de tales operaciones.

Una hormiga camina por el suelo de una trayectoria circular de radio $r$ y se mueve en línea recta, pero a veces se detiene. Cada vez que se detiene, antes de reanudar la marcha, gira $60^o$ alternando la dirección (si la última vez giró $60^o$ a su derecha, la siguiente lo hace $60^o$ a su izquierda, y viceversa). Encuentra la longitud máxima posible del camino que recorre la hormiga. Demuestra que la longitud encontrada es, de hecho, lo más larga posible. Figura: gira $60^o$ a la derecha .

Dado un cuadrado de lado $1$ . Demuestra que para cada conjunto finito de puntos de los lados del cuadrado se puede encontrar un vértice del cuadrado con la siguiente propiedad: la media aritmética de los cuadrados de las distancias desde este vértice a los puntos del conjunto es mayor o igual que $3/4$ .

Sea $A$ un número de seis dígitos, tres de los cuales están coloreados e iguales a $1, 2$ y $4$ . Demuestra que siempre es posible obtener un número que sea múltiplo de $7$ , realizando solo una de las siguientes operaciones: ya sea eliminar las tres cifras coloreadas, o escribir todos los números de $A$ en algún orden.