Hay $1999$ bolas en una fila, algunas son rojas y otras azules (podría ser todas rojas o todas azules). Debajo de cada bola escribimos un número igual a la suma de la cantidad de bolas rojas a la derecha de esta bola más la suma de la cantidad de bolas azules que están a la izquierda de esta bola. En la secuencia de números que obtenemos con estas bolas tenemos exactamente tres números que aparecen un número impar de veces, ¿cuáles podrían ser estos tres?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ . Construye un punto $P$ en la hipotenusa $BC$ tal que si $Q$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al lado $AC$ , entonces el área del cuadrado de lado $PQ$ es igual al área del rectángulo de lados $PB$ y $PC$ . Muestra los pasos de la construcción.

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que las $73$ fracciones $\frac{19}{n+21}, \frac{20}{n+22},\frac{21}{n+23},...,\frac{91}{n+93}$ son todas irreducibles.

Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos por pares, de tal manera que cada uno de ellos ocurre exactamente uno en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama la suma total de la tabla. Con cuatro números cualesquiera, uno construye todas las tablas regulares posibles, calcula sus sumas totales y cuenta los resultados distintos. Determina el máximo conteo posible.

Encuentra todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que el número $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ es una potencia de $2016$. (Una potencia de $2016$ es un entero de la forma $2016^n$, donde n es un entero no negativo.)

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestra que $\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c ^2 \ge \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}$.

Un trapecio $ABCD$ ( $AB || CF$ , $AB > CD$ ) está circunscrito. El incírculo del triángulo $ABC$ toca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestra que el incentro del trapecio $ABCD$ se encuentra en la línea $MN$.

Una forma L es una de las siguientes cuatro piezas, cada una consta de tres cuadrados unitarios: [asy]\nsize(300);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath P=(1,2)--(0,2)--origin--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(0,1);\ndraw(P);\ndraw(shift((2.7,0))*rotate(90,(1,1))*P);\ndraw(shift((5.4,0))*rotate(180,(1,1))*P);\ndraw(shift((8.1,0))*rotate(270,(1,1))*P);\n[/asy] Un tablero de $5\times 5$, que consta de $25$ cuadrados unitarios, un entero positivo $k\leq 25$ y un suministro ilimitado de formas L son dados. Dos jugadores A y B, juegan el siguiente juego: comenzando con A, juegan alternativamente marcando un cuadrado unitario previamente sin marcar hasta que marquen un total de $k$ cuadrados unitarios. Decimos que una colocación de formas L en cuadrados unitarios sin marcar se llama $\textit{buena}$ si las formas L no se superponen y cada una de ellas cubre exactamente tres cuadrados unitarios sin marcar del tablero. B gana si cada colocación $\textit{buena}$ de formas L deja al descubierto al menos tres cuadrados unitarios sin marcar. Determine el valor mínimo de $k$ para el cual B tiene una estrategia ganadora.

Sea $n\ge 1$ un entero positivo. Un cuadrado de lado $n$ está dividido por líneas paralelas a cada lado en $n^2$ cuadrados de lado $1$. Encuentra el número de paralelogramos que tienen vértices entre los vértices de los $n^2$ cuadrados de lado $1$, con ambos lados menores o iguales a $2$, y que tienen el área igual a $2$. (Grecia)

Se colocan enteros positivos en la siguiente tabla.\n\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\hline\n1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\\n\hline\n2 & 5 & 9 & 14 & 20 & 27 & 35 & 44 & & \\\n\hline\n4 & 8 & 13 & 19 & 26 & 34 & 43 & 53 & & \\\n\hline\n7 & 12 & 18 & 25 & 33 & 42 & & & & \\\n\hline\n11 & 17 & 24 & 32 & 41 & & & & & \\\n\hline\n16 & 23 & & & & & & & & \\\n\hline\n... & & & & & & & & & \\\n\hline\n... & & & & & & & & & \\\n\end{tabular} Encuentra el número de la fila y la columna donde se encuentra el número $2015$.