La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de ago. de 2018, 7:54 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Suponga que un número real $a$ es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ . Sea $G=|a_n|+|a_{n-1}|+...+|a_1|+|a_0|$ . Decimos que $G$ es un gingado de $a$ . Por ejemplo, como $2$ es raíz de $P(x)=x^2-x-2$ , $G=|1|+|-1|+|-2|=4$ , decimos que $4$ es un gingado de $2$ . ¿Cuál es el cuarto número real $a$ más grande tal que $3$ es un gingado de $a$ ? Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por parmenides51, 29 de jun. de 2024, 11:34 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. HKIS200543 380 publicaciones HKIS200543 #1 h 4 de septiembre de 2019, 7:05 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Hay 100 estudiantes tomando un examen. El profesor los llama uno por uno y le hace a cada estudiante una pregunta personal: “¿Cuántos de los 100 estudiantes tendrán una calificación de “aprobado” al final de este examen?”. La respuesta de los estudiantes debe ser un entero. Al recibir la respuesta, el profesor anuncia inmediatamente en público la calificación del estudiante, la cual es “aprobado” o “reprobado”. Después de que todos los estudiantes han obtenido sus calificaciones, un inspector viene y verifica si hay algún estudiante que haya dado la respuesta correcta pero haya obtenido una calificación de “reprobado”. Si existe al menos un estudiante así, entonces el profesor es suspendido y todas las calificaciones son reemplazadas por “aprobado”. De lo contrario, no se realiza ningún cambio. ¿Pueden los estudiantes idear una estrategia que garantice una calificación de “aprobado” para cada uno de ellos? Denis Afrizonov Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 7 de septiembre de 2019, 6:13 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. HKIS200543 380 publicaciones HKIS200543 #1 h 4 de sep. de 2019, 7:10 a. m. • 2 Y Y por mathematicsy, Adventure10 Se nos da una pirámide convexa de cuatro lados con vértice $S$ y cara base $ABCD$ tal que la pirámide tiene una esfera inscrita (es decir, contiene una esfera que es tangente a cada cara). Al realizar cortes a lo largo de las aristas $SA,SB,SC,SD$ y rotar las caras $SAB,SBC,SCD,SDA$ hacia afuera en el plano $ABCD$, desplegamos la pirámide en el polígono $AKBLCMDN$ como se muestra en la figura. Demuestre que $K,L,M,N$ son concíclicos. Tibor Bakos y Géza Kós Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 7 de sep. de 2019, 6:13 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de agosto de 2019, 12:15 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los números del $1$ al $64$ deben escribirse en los cuadrados pequeños de un tablero de ajedrez, con un número diferente en cada cuadrado pequeño. Considere los $112$ números que se pueden formar sumando los números de dos cuadrados pequeños que tienen un borde común. ¿Es posible escribir los números en los cuadrados de tal manera que estas $112$ sumas sean todas diferentes? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. littletush 761 publicaciones littletush #1 h 10 de feb. de 2012, 11:06 p. m. • 3 Y Y por centslordm, Adventure10, Mango247 Dado un triángulo $ABC$, sean $A',B',C'$ los pies de las perpendiculares trazadas desde el baricentro $G$ del triángulo $ABC$ hacia los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Refleje $A',B',C'$ a través de $G$ hacia $A'',B'',C''$ respectivamente. Demuestre que las rectas $AA'',BB'',CC''$ son concurrentes. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. HKIS200543 380 publicaciones HKIS200543 #1 h 4 de sep. de 2019, 7:16 a. m. • 3 Y Y por Loppukilpailija, Adventure10, Mango247 Sea $p$ un número primo y sea $f(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes enteros. Suponga que los números $f(1),f(2),\dots,f(p)$ dejan exactamente $k$ residuos distintos al dividirse por $p$, y $1<k<p$. Demuestre que \[ \frac{p-1}{d}\leq k-1\leq (p-1)\left(1-\frac1d \right) .\] Dániel Domán, Gauls Károlyi y Emil Kiss Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por dcouchman, 6 de sep. de 2019, 4:26 p. m. Razón: ¡veamos si esto funciona! Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. qweDota 150 publicaciones qweDota #1 h 13 de feb. de 2018, 10:14 p. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 En un círculo de radio $R$ está inscrito un hexágono convexo. Las diagonales $AD$ y $BE$, $BE$ y $CF$, $CF$ y $AD$ del hexágono se cortan en los puntos $M$, $N$ y $K$, respectivamente. Sean $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6$ los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABM,BCN,CDK,DEM,EFN,AFK$ respectivamente. Demuestre que $$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt{3}$$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por qweDota, 13 de feb. de 2018, 10:15 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 17 de feb. de 2018, 5:47 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El círculo $\omega_1$ corta al círculo $\omega_2$ en los puntos $A$ y $B$, una recta tangente a estos círculos corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Suponga que $A$ está dentro del triángulo $BEF$, sea $H$ el ortocentro de $BEF$ y $M$ el punto medio de $BH$. Demuestre que los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ y el punto $M$ son colineales. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por mathisreal, 31 de ago. de 2019, 9:19 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 20 de julio de 2008, 3:58 AM • 1 Y Y por Adventure10 ¿Es posible organizar en un círculo todos los enteros positivos compuestos que no excedan $ 10^6$ , de tal manera que no haya dos números vecinos que sean coprimos? Autor: L. Emelyanov Tuymaada 2008, Liga Juvenil, Primer día, Problema 2. Demuestre que todos los enteros positivos compuestos que no excedan $ 10^6$ pueden organizarse en un círculo de tal manera que no haya dos números vecinos que sean coprimos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 9 de julio de 2009, 5:05 PM • 5 Y Y por Davi-8191, green_leaf, HWenslawski, Adventure10, PreciseScorpion58 Sea $ S\subseteq\mathbb{R}$ un conjunto de números reales. Decimos que un par $ (f, g)$ de funciones de $ S$ en $ S$ es una Pareja Española en $ S$ si satisfacen las siguientes condiciones: (i) Ambas funciones son estrictamente crecientes, es decir, $ f(x) < f(y)$ y $ g(x) < g(y)$ para todo $ x$ , $ y\in S$ con $ x < y$ ; (ii) La desigualdad $ f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right) < g\left(f\left(x\right)\right)$ se cumple para todo $ x\in S$ . Determine si existe una Pareja Española en el conjunto $ S = \mathbb{N}$ de los enteros positivos; en el conjunto $ S = \{a - \frac {1}{b}: a, b\in\mathbb{N}\}$ Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Abril, 10 de julio de 2009, 6:23 AM Z K Y