Sea $m$ un entero impar positivo no divisible por $3$. Demostrar que $\left[4^m -(2+\sqrt 2)^m\right]$ es divisible por $112.$

Dada la función $f(x) = \sin x + \sin \pi x$ y el número positivo $d$. Demostrar que existe un número real $p$ tal que $|f(x + p) - f(x)| < d$ se cumple para todos los números reales $x$, y el valor de $p$ puede ser arbitrariamente grande.

Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n (n \geq 4)$ $n$ conjuntos convexos en el plano. Sabiendo que cada tres conjuntos convexos tienen un punto en común. Demostrar que existe un punto que pertenece a todos los conjuntos.

Sea $n \geq 4$ un entero. $a_1, a_2, \ldots, a_n \in (0, 2n)$ son $n$ enteros distintos. Demuestra que existe un subconjunto del conjunto $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ tal que la suma de sus elementos es divisible por $2n.$

El punto $D$ está en la hipotenusa $BC$ del triángulo rectángulo $ABC$ . Los inradios de los triángulos $ADB$ y $ADC$ son iguales. Demuestra que $S_{ABC} = AD^2$ , donde $S$ es la función de área.

En un triángulo, una simediana es una línea que pasa por un vértice que es simétrica a la mediana con respecto a la bisectriz interna (todo relativo al mismo vértice). En el triángulo $ABC$ , la mediana $m_a$ se encuentra con $BC$ en $A'$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_1$ . La simediana $s_a$ se encuentra con $BC$ en $M$ y la circunferencia circunscrita nuevamente en $A_2$ . Dado que la línea $A_1A_2$ contiene el circuncentro $O$ del triángulo, demuestre que: (a) $\frac{AA'}{AM} = \frac{b^2+c^2}{2bc} ;$ (b) $1+4b^2c^2 = a^2(b^2+c^2)$

Un círculo de radio $\rho$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ , y su centro $K$ está a una distancia $p$ de $BC$ . (a) Demuestra que $a(p - \rho) = 2s(r - \rho)$ , donde $r$ es el inradio y $2s$ el perímetro de $ABC$ . (b) Demuestra que si el círculo intersecta a $BC$ en $D$ y $E$ , entonces \[DE=\frac{4\sqrt{rr_1(\rho-r)(r_1-\rho)}}{r_1-r}\] donde $r_1$ es el exradio correspondiente al vértice $A.$

Sea la función $f(x, y): \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb Q$ que satisface las condiciones: (i) $f(1, 1) =1$ , (ii) $f(p + 1, q) + f(p, q + 1) = f(p, q)$ para todo $p, q \in \mathbb N$ , y (iii) $qf(p + 1, q) = pf(p, q + 1)$ para todo $p, q \in \mathbb N$ . Encuentra $f(1990, 31).$

Determina todos los enteros $n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.

Diez localidades son servidas por dos aerolíneas internacionales de tal manera que existe un servicio directo (sin escalas) entre dos cualesquiera de estas localidades y todos los horarios de las aerolíneas ofrecen un servicio de ida y vuelta entre las ciudades que sirven. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer dos viajes de ida y vuelta disjuntos, cada uno con un número impar de aterrizajes.