La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. HKIS200543 380 publicaciones HKIS200543 #1 h 3 de septiembre de 2019, 7:26 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En una red social con un conjunto finito fijo de usuarios, cada usuario tiene un conjunto fijo de seguidores entre los demás usuarios. Cada usuario tiene una calificación inicial de entero positivo (no necesariamente la misma para todos los usuarios). Cada medianoche, la calificación de cada usuario aumenta en la suma de las calificaciones que sus seguidores tenían justo antes de la medianoche. Sea $m$ un entero positivo. Un hacker, que no es usuario de la red social, quiere que todos los usuarios tengan calificaciones divisibles por $m$. Cada día, puede elegir a un usuario y aumentar su calificación en 1, o no hacer nada. Demuestre que el hacker puede lograr su objetivo después de cierto número de días. Vladislav Novikov Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por HKIS200543, 22 de junio de 2020, 10:27 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46253 publicaciones sqing #1 h 4 de mayo de 2017, 8:46 a. m. • 4 Y Y por laegolas, GoJensenOrGoHome, CatDog76, Adventure10 En una mesa circular se sientan $\displaystyle {n> 2}$ estudiantes. Inicialmente, cada estudiante tiene exactamente un caramelo. En cada paso, cada estudiante elige una de las siguientes acciones: (A) Entrega un caramelo al estudiante sentado a su izquierda o al estudiante sentado a su derecha. (B) Divide todos sus caramelos en dos conjuntos, posiblemente vacíos, y entrega un conjunto al estudiante sentado a su izquierda y el otro al estudiante sentado a su derecha. En cada paso, los estudiantes realizan las acciones que han elegido simultáneamente. Una distribución de caramelos se denomina legítima si puede ocurrir después de un número finito de pasos. Encuentre el número de distribuciones legítimas. (Dos distribuciones son diferentes si hay un estudiante que tiene una cantidad diferente de caramelos en cada una de estas distribuciones.) (Disculpen mi pobre inglés) Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por sqing, 4 de mayo de 2017, 8:47 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. rmtf1111 701 publicaciones rmtf1111 #1 h 10 de abr. de 2019, 6:12 a. m. • 5 Y Y por Resolut1on07, Adventure10, Mango247, anantmudgal09, cubres Sea $n\ge 2$ un entero, y sean $a_1, a_2, \cdots , a_n$ enteros positivos. Demuestre que existen enteros positivos $b_1, b_2, \cdots, b_n$ que satisfacen las siguientes tres condiciones: $\text{(A)} \ a_i\le b_i$ para $i=1, 2, \cdots , n;$ $\text{(B)} \ $ los residuos de $b_1, b_2, \cdots, b_n$ al dividirlos por $n$ son distintos dos a dos; y $\text{(C)} \ $ $b_1+b_2+\cdots b_n \le n\left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}\right \rfloor \right)$ (Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota la parte entera del número real $x$, es decir, el mayor entero que no excede a $x$.) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por darij grinberg, 28 de nov. de 2020, 11:26 a. m. Razón: error tipográfico Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 9 de julio de 2009, 5:06 PM • 1 Y Y por Adventure10 Para un entero $ m$ , denotamos por $ t(m)$ el número único en $ \{1, 2, 3\}$ tal que $ m + t(m)$ es un múltiplo de $ 3$ . Una función $ f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisface $ f( - 1) = 0$ , $ f(0) = 1$ , $ f(1) = - 1$ y $ f\left(2^{n} + m\right) = f\left(2^n - t(m)\right) - f(m)$ para todos los enteros $ m$ , $ n\ge 0$ con $ 2^n > m$ . Demuestre que $ f(3p)\ge 0$ se cumple para todos los enteros $ p\ge 0$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. byk7 204 publicaciones byk7 #1 h 28 de agosto de 2025, 6:58 a. m. • 2 Y Y por NO_SQUARES, R8kt Determine si la siguiente afirmación es verdadera para todo polinomio $P$ de grado al menos 2 con coeficientes enteros no negativos: existe un entero positivo $m$ tal que para infinitos enteros positivos $n$, el número $P^{n}(m)$ tiene más de $n$ divisores positivos distintos. (Aquí, $P^n$ denota $P$ aplicado $n$ veces.) Propuesto por Paulius Aleknavičius, Lituania. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por byk7, 28 de agosto de 2025, 9:06 a. m. Razón: autor Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MarkBcc168 1639 publicaciones MarkBcc168 #1 h 8 de julio de 2023, 10:35 PM • 4 Y Y por Rounak_iitr, deplasmanyollari, Kingsbane2139, cubres Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todo entero positivo $n$. Demuestre que $a_{2022}\leq 1$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. HKIS200543 380 publicaciones HKIS200543 #1 h 3 de septiembre de 2019, 7:30 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, EuclideanCarrot Se dan tres números primos $p,q,r$ y un entero positivo $n$ tales que los números \[ \frac{p+n}{qr}, \frac{q+n}{rp}, \frac{r+n}{pq} \] son enteros. Demuestre que $p=q=r$ . Nazar Agakhanov Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por HKIS200543, 22 de junio de 2020, 10:27 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 21 de octubre de 2015, 9:31 a. m. • 4 Y Y por Honestcobra, GeoKing, Adventure10, Mango247 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestre que \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\ge\frac{15}{16}\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2008, 7:45 a. m. • 16 Y Y por Davi-8191, integrated_JRC, Vietjung, HWenslawski, Adventure10, megarnie, mathmax12, jmiao, aidan0626, Amir Hossein, buddyram, ItsBesi, cubres y otros 3 usuarios. Encuentre todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (donde $ f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$ Autor: Hojoo Lee, Corea del Sur. Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por MellowMelon, 2 de septiembre de 2015, 7:05 p. m. Motivo: corregir error tipográfico Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. byk7 204 publicaciones byk7 #1 h 28 de agosto de 2025, 6:53 a. m. • 3 Y Y por NO_SQUARES, DominikSVK, Rounak_iitr Sea $n$ un entero positivo tal que la suma de los divisores positivos de $n^2+n+1$ es divisible por 3. Demuestre que es posible particionar el conjunto de divisores positivos de $n^2+n+1$ en tres conjuntos tales que el producto de todos los elementos en cada conjunto sea el mismo. Z K Y