Las longitudes de los lados de dos equiláteros $ABC$ y $KLM$ son $1$ y $1/4$, respectivamente. Y el triángulo $KLM$ está ubicado dentro del triángulo $ABC$. Denotemos por $\Sigma$ la suma de las distancias desde $A$ a las líneas $KL, LM$ y $MK$. Encuentra la ubicación del triángulo $KLM$ cuando $\Sigma$ es máxima.

Demuestra que en el plano coordenado es imposible dibujar una línea quebrada cerrada tal que (i) las coordenadas de cada vértice son racionales; (ii) la longitud de cada uno de sus bordes es 1; (iii) la línea tiene un número impar de vértices.

Dado un tablero de ajedrez de $10 \times 10$ coloreado como blanco y negro alternativamente. Demuestra que para cualquier $46$ cuadrados unitarios sin bordes comunes, hay al menos $30$ cuadrados unitarios con el mismo color.

Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales todo número natural cuya representación decimal tiene $n - 1$ dígitos $1$ y un dígito $7$ es primo.

En el hexágono convexo $ABCDEF$, sabemos que $\angle BCA = \angle DEC = \angle AFB = \angle CBD = \angle EDF.$ Demuestra que $AB = CD = EF.$

Suponga que los puntos $X, Y, Z$ están ubicados en los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente, del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo $XYZ$ es similar al triángulo $ABC$. Demuestra que el ortocentro del triángulo $XYZ$ es el circuncentro del triángulo $ABC.$

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes racionales. $q_1$, $q_2$, $q_3$, ... es una secuencia de racionales tal que $q_n = p(q_{n + 1})$ para todo $n$ positivo. Demuestra que para algún $k$, tenemos $q_{n + k} = q_n$ para todo $n$ positivo.

Dado un entero $n > 1$ y un número real $t \geq 1$. $P$ es un paralelogramo con cuatro vértices $(0, 0), (0, t), (tF_{2n+1}, tF_{2n}), (tF_{2n+1}, tF_{2n} + t)$. Aquí, ${F_n}$ es el $n$ - ésimo término de la secuencia de Fibonacci definida por $F_0 = 0, F_1 = 1$ y $F_{m+1} = F_m + F_{m-1}$. Sea $L$ el número de puntos integrales (cuyas coordenadas son enteros) interiores a $P$, y $M$ el área de $P$, que es $t^2F_{2n+1}.$ i) Demuestra que para cualquier punto integral $(a, b)$, existe un único par de enteros $(j, k)$ tal que $j(F_{n+1}, F_n) + k(F_n, F_{n-1}) = (a, b)$, es decir, $jF_{n+1} + kF_n = a$ y $jF_n + kF_{n-1} = b.$ ii) Usando i) o no, demuestra que $|\sqrt L-\sqrt M| \leq \sqrt 2.$

Sea $n$ un entero positivo. $S_1, S_2, \ldots, S_n$ son conjuntos disjuntos por pares, y $S_k $ tiene exactamente $k$ elementos $(k = 1, 2, \ldots, n)$. Definir $S = S_1\cup S_2\cup\cdots \cup S_n$. La función $f: S \to S $ asigna todos los elementos de $S_k$ a un elemento fijo de $S_k$ , $k = 1, 2, \ldots, n$. Hallar el número de funciones $g: S \to S$ que satisfacen $f(g(f(x))) = f(x).$

Sean $ w, x, y, z$ números reales no negativos tales que $ wx + xy + yz + zw = 1$. Demostrar que $ \frac {w^3}{x + y + z} + \frac {x^3}{w + y + z} + \frac {y^3}{w + x + z} + \frac {z^3}{w + x + y}\geq \frac {1}{3}$ .