Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1988 Problema 2
En el pentágono convexo $ ABCDE,$ los lados $ BC, CD, DE$ son iguales. Además, cada diagonal del pentágono es paralela a un lado ( $ AC$ es paralelo a $ DE$ , $ BD$ es paralelo a $ AE$ etc.). Demostrar que $ ABCDE$ es un pentágono regular.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1988 Problema 1
Demostrar que el conjunto de soluciones de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2020 Problema 4
Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$ es un número primo.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2020 Problema 3
Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y sea $E$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ . Sea $Z \ne A$ un punto en la línea $AB$ con $AB = BZ$ . Sea $(c)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AEZ$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de $(c)$ con $ZC$ y sea $F$ el punto antidiametral de $D$ con respecto a $(c)$ . Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $FE$ y $CZ$ . Si la tangente a $(c)$ en $Z$ se encuentra con $PA$ en $T$ , demuestre que los puntos $T$ , $E$ , $B$ , $Z$ son concíclicos.
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2020 Problema 2
Encuentre todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ , y $p$ , donde $p$ es un número primo, tal que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .
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Olimpiada Junior de los Balcanes 2020 Problema 1
Determine si existe un número natural $n$ para el cual $8^n + 47$ es primo.
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Olimpiada Matemática del Mediterráneo 1998 Problema 1
Un cuadrado $ABCD$ está inscrito en un círculo. Si $M$ es un punto en el arco más corto $AB$, demuestre que \[MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB.\]
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Olimpiada Matemática del Mediterráneo 1998 Problema 3
En un triángulo $ABC$, $I$ es el incentro y $D,E, F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC,CA,AB$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $BIC$ se encuentra con $BC$ en $M$, y la línea $AM$ interseca $EF$ en $P$. Demuestre que $DP$ biseca el ángulo $FDE$.
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Olimpiada Matemática del Mediterráneo 1998 Problema 2
Demuestre que el polinomio $z^{2n} + z^n + 1\ (n \in \mathbb{N})$ es divisible por el polinomio $z^2 + z + 1$ si y sólo si $n$ no es múltiplo de $3$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1990 Problema 4
En el plano coordenado, llamamos a un punto $(x, y)$ 'punto reticular' si tanto $x$ como $y$ son enteros. Sabiendo que los vértices del triángulo $ABC$ son todos puntos reticulares, y que existe exactamente un punto reticular interior al triángulo $ABC$ (podría haber puntos reticulares en los lados de $ABC$). Demuestra que el área del triángulo $ABC$ no es mayor que $\frac 92.$
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