Sea $ N = \{1,2 \ldots, n\}, n \geq 2.$ Una colección $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ de subconjuntos $ A_i \subseteq N,$ $ i = 1, \ldots, t,$ se dice que es separadora, si para cada par $ \{x,y\} \subseteq N,$ existe un conjunto $ A_i \in F$ tal que $ A_i \cap \{x,y\}$ contiene exactamente un elemento. $ F$ se dice que es cubriente, si cada elemento de $ N$ está contenido en al menos un conjunto $ A_i \in F.$ ¿Cuál es el valor más pequeño $ f(n)$ de $ t,$ para que exista un conjunto $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ que sea simultáneamente separador y cubriente?

En un triángulo $ ABC,$ elija cualquier punto $ K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK$ y $ F \in KL.$ Si $ E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ y $ E$ denotan las áreas de los triángulos $ AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN$ y $ ABC$ respectivamente, demuestre que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt [6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \]

La cerradura de una caja fuerte consta de 3 ruedas, cada una de las cuales se puede colocar de 8 maneras diferentes. Debido a un defecto en el mecanismo de la caja fuerte, la puerta se abrirá si dos de las tres ruedas están en la posición correcta. ¿Cuál es el número más pequeño de combinaciones que se deben probar para garantizar que se pueda abrir la caja fuerte (asumiendo que la 'combinación correcta' no se conoce)?

Sea $ a$ la mayor raíz positiva de la ecuación $ x^3 - 3 \cdot x^2 + 1 = 0.$ Muestra que $ \left[a^{1788} \right]$ y $ \left[a^{1988} \right]$ son divisibles por 17. Aquí $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Muestra que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Sean $ u_1, u_2, \ldots, u_m$, $ m$ vectores en el plano, cada uno de longitud $ \leq 1,$ con suma cero. Demuestra que uno puede ordenar $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ como una secuencia $ v_1, v_2, \ldots, v_m$ tal que cada suma parcial $ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3, \ldots, v_1, v_2, \ldots, v_m$ tenga longitud menor o igual que $ \sqrt {5}.$

En un tetraedro dado $ ABCD$, sean $ K$ y $ L$ los centros de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestra que todo plano que contiene la recta $ KL$ divide al tetraedro en dos partes de igual volumen.

Hallar el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos no intersecantes, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

Sea $ f(n)$ una función definida en el conjunto de todos los enteros positivos y que tiene sus valores en el mismo conjunto. Suponga que $ f(f(n) + f(m)) = m + n$ para todos los enteros positivos $ n,m.$ Hallar el posible valor para $ f(1988).$

Considerar 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fijar $ P$ en el círculo pequeño y considerar la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ están en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posibles posiciones de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?