Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $L$ cualquier línea en el plano del triángulo $ABC$. Denote por $u$, $v$, $w$ las longitudes de las perpendiculares a $L$ desde $A$, $B$, $C$ respectivamente. Pruebe la desigualdad $u^2\cdot\tan A + v^2\cdot\tan B + w^2\cdot\tan C\geq 2\cdot S$, donde $S$ es el área del triángulo $ABC$. Determine las líneas $L$ para las cuales la igualdad se cumple.

Una función $f$ definida en los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \\ f(2 \cdot n) = f(n) \\ f(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \\ f(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $n.$ Determine con prueba la cantidad de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $f(n) = n.$

Un entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Entonces, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestra que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.

Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una secuencia de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0\ \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestra que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2}\ \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

Sea $ Q$ el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo $ ABC.$ Demuestra que para cualquier punto $ P,$ \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2,\ \] donde $ a = BC, b = CA$ y $ c = AB.$

Sea $ p$ el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Demuestra que no existen enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1\ \] O Demuestra que solo hay dos valores de $ p$ para los cuales hay enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1\ \]

Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación de cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestra que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtendrá al menos tantos puntos como $ B.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $ L_{A}$ , $ L_{B}$ y $ L_{C}$ se construyen a través de los vértices $ A$ , $ B$ y $ C$ respectivamente según la siguiente prescripción: Sea $ H$ el pie de la altura trazada desde el vértice $ A$ al lado $ BC$ ; sea $ S_{A}$ el círculo con diámetro $ AH$ ; sea $ S_{A}$ que se encuentra con los lados $ AB$ y $ AC$ en $ M$ y $ N$ respectivamente, donde $ M$ y $ N$ son distintos de $ A$ ; entonces sea $ L_{A}$ la línea que pasa por $ A$ perpendicular a $ MN$ . Las líneas $ L_{B}$ y $ L_{C}$ se construyen de manera similar. Demuestre que las líneas $ L_{A}$ , $ L_{B}$ y $ L_{C}$ son concurrentes.

¿Para qué valores de $ n$ existe una matriz de $ n \times n$ de entradas -1, 0 o 1 tal que las $ 2 \cdot n$ sumas obtenidas al sumar los elementos de las filas y las columnas son todas diferentes?

En un triángulo rectángulo $ ABC$ sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ interseca los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestre que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]