La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IstekOlympiadTeam 542 publicaciones IstekOlympiadTeam #1 h 21 de octubre de 2015, 9:37 a. m. • 5 Y Y por megarnie, Rounak_iitr, Adventure10, togrul123, AbdulWaheed Encuentre todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que \[P(P(x))=(x^2+x+1)\cdot P(x)\] donde $x \in \mathbb{R}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iveela 177 publicaciones Iveela #1 h 5 de julio de 2025, 12:12 a. m. • 1 Y Y por Gato_combinatorio Alice y Bob juegan un juego en un $K_{2026}$. Ellos juegan por turnos, comenzando Alice. Inicialmente, todas las aristas están sin colorear. En el turno de Alice, ella elige cualquier arista sin colorear y la colorea de rojo. En el turno de Bob, él elige 1, 2 o 3 aristas sin colorear y las colorea de azul. El juego termina una vez que todas las aristas han sido coloreadas. Sean $r$ y $b$ el número de vértices de la clique roja y azul más grande, respectivamente. Bob gana si al final del juego $b > r$. Demuestre que Bob tiene una estrategia ganadora. Nota: $K_n$ denota el grafo completo con $n$ vértices y donde existe una arista entre cualquier par de vértices. Una clique roja (o azul, respectivamente) se refiere a un subgrafo completo en el cual todas las aristas son rojas (o azules, respectivamente). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Iveela, 5 de julio de 2025, 12:14 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 20 de enero de 2020, 11:01 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247, Mango247 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que es posible llenar la tabla $n \times n$ con los números $1, 2$ y $-3$ de modo que la suma de los números en cada fila y en cada columna sea $0$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. X.Allaberdiyev 117 publicaciones X.Allaberdiyev #1 h 6 de julio de 2025, 10:16 PM • 4 Y Y por radian_51, Gato_combinatorio, Rounak_iitr, cubres Sea $Q(n)$ un polinomio con coeficientes enteros. Llamamos al entero positivo $n$ $especial$ si para todo primo $p$: \[ p \mid \sigma(n) + 1 \quad \text{si y solo si} \quad p \mid Q(n) \] Entonces demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que ni $n$ ni $n+1$ son especiales. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por X.Allaberdiyev, 6 de julio de 2025, 10:21 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZeroHero 33 publicaciones ZeroHero #1 h 6 de julio de 2025, 4:17 a. m. • 1 Y Y por pomodor_ap Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ que contiene a $A$. Suponga que $BH$ corta a $MC$ en $F$, de manera similar $CH$ corta a $MB$ en $E$, y $EF$ corta a $BC$ en $K$. Si $L$ es el pie de la perpendicular trazada desde $M$ a la recta $KH$, demuestre que $AH=AL$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ZeroHero, 6 de julio de 2025, 5:54 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. tenplusten 1000 publicaciones tenplusten #1 h 3 de mayo de 2016, 1:16 PM • 1 Y Y por Adventure10 $\boxed{A2}$ Encuentre el valor máximo de $z+x$ si $x,y,z$ satisfacen las condiciones dadas. $x^2+y^2=4$ $z^2+t^2=9$ $xt+yz\geq 6$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 20 de enero de 2020, 11:04 AM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $k$ un círculo con diámetro $AB$. Se elige un punto $C$ dentro del segmento $AB$ y un punto $D$ en $k$ tal que $BCD$ es un triángulo acutángulo, cuyo circuncentro se denota por $O$. Sea $E$ la intersección del círculo $k$ y la recta $BO$ (distinto de $B$). Demuestre que los triángulos $BCD$ y $ECA$ son semejantes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. X.Allaberdiyev 117 publicaciones X.Allaberdiyev #1 h 6 de julio de 2025, 9:24 PM Y por Determine todos los $n$ tales que es posible encontrar un $n$-gono convexo que pueda ser recubierto con triángulos que tengan ángulos de $15^\circ$, $75^\circ$ y $90^\circ$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 10 de agosto de 2020, 12:17 PM Y por Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB < AC$, $\omega$ su círculo inscrito y $\Gamma$ su círculo circunscrito. Sea también $\omega_b$ el círculo exinscrito relativo al vértice $B$, entonces $B'$ es el punto de tangencia entre $\omega_b$ y $(AC)$. De manera similar, sea el círculo $\omega_c$ el círculo exinscrito relativo al vértice $C$, entonces $C'$ es el punto de tangencia entre $\omega_c$ y $(AB)$. Finalmente, sea $I$ el centro de $\omega$ y $X$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle XAI$ es un ángulo recto. Demuestre que los triángulos $XBC'$ y $XCB'$ son congruentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 10 de agosto de 2020, 12:20 PM Z K Y