La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathematics2004 96 publicaciones mathematics2004 #1 h 5 de sep. de 2021, 1:21 p. m. • 1 Y Y por Mango247 Sea $ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $X$ un punto en la semirrecta $AB$ tal que $2 \angle CXA=\angle CMA$. Sea $Y$ un punto en la semirrecta $AC$ tal que $2 \angle AYB=\angle AMB$. La recta $BC$ corta al circuncírculo del triángulo $AXY$ en $P$ y $Q$, tales que los puntos $P, B, C$ y $Q$ yacen en este orden sobre la recta $BC$. Demuestre que $PB=QC$. Propuesto por Dominik Burek, Polonia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathematics2004, 5 de sep. de 2021, 1:42 p. m. Razón: Añadir proponente Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:24 p. m. • 5 Y Y por Davi-8191, samrocksnature, Adventure10, megarnie y otro usuario más. Sea $ S = \{1,2,3,\cdots ,280\}$ . Encuentre el entero $ n$ más pequeño tal que cada subconjunto de $ n$ elementos de $ S$ contenga cinco números que sean primos entre sí dos a dos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 8:35 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathematics2004 96 publicaciones mathematics2004 #1 h 5 de sep. de 2021, 12:51 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto interior del segmento $BC$. Los puntos $E$ y $F$ yacen en el semiplano determinado por la recta $BC$ que contiene a $A$, tales que $DE$ es perpendicular a $BE$ y $DE$ es tangente al circuncírculo de $ACD$, mientras que $DF$ es perpendicular a $CF$ y $DF$ es tangente al circuncírculo de $ABD$. Demuestre que los puntos $A, D, E$ y $F$ son concíclicos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Leicich 234 publicaciones Leicich #1 h 15 de mayo de 2015, 8:30 PM • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Demuestre que, para cualquier entero $n$, el número $n^3 - 9n + 27$ no es divisible por $81$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathematics2004 96 publicaciones mathematics2004 #1 h 5 de sep. de 2021, 1:17 p. m. Y por Sea $AD$ el diámetro del círculo circunscrito de un triángulo acutángulo $ABC$. Las rectas que pasan por $D$ paralelas a $AB$ y $AC$ cortan a las rectas $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. Demuestre que $AD$ y $DG$ son perpendiculares. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 9:11 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un tetraedro dado $ ABCD$, sean $ K$ y $ L$ los puntos medios de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestre que todo plano que contiene a la recta $ KL$ divide al tetraedro en dos partes de igual volumen. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Leicich 234 publicaciones Leicich #1 h 15 de mayo de 2015, 9:41 PM • 3 Y Y por Davi-8191, Adventure10, Mango247 Se trazan $3n$ líneas en el plano ( $n > 1$ ), tales que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas concurrentes. Demuestre que, si $2n$ de las líneas están coloreadas de rojo y las otras $n$ líneas de azul, existen al menos dos regiones del plano tales que todos sus bordes son rojos. Nota: para cada región, todos sus bordes están contenidos en el conjunto original de líneas, y ninguna línea pasa a través de la región. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathematics2004 96 publicaciones mathematics2004 #1 h 5 de sep. de 2021, 12:49 p. m. • 4 Y Y por Aegaertargaryen1102, HWenslawski, Mango247, Mango247 Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Algunos cuadrados de un tablero de $m \times n$ están coloreados de rojo. Una sucesión $a_1, a_2, \ldots , a_{2r}$ de $2r \ge 4$ cuadrados rojos distintos entre sí se denomina circuito de alfil si para todo $k \in \{1, \ldots , 2r \}$, los cuadrados $a_k$ y $a_{k+1}$ se encuentran en una diagonal, pero los cuadrados $a_k$ y $a_{k+2}$ no se encuentran en una diagonal (aquí $a_{2r+1}=a_1$ y $a_{2r+2}=a_2$). En términos de $m$ y $n$, determine el número máximo posible de cuadrados rojos en un tablero de $m \times n$ sin un circuito de alfil. (Observación. Dos cuadrados se encuentran en una diagonal si la línea que pasa por sus centros corta los lados del tablero en un ángulo de $45^\circ$.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. drmzjoseph 446 publicaciones drmzjoseph #1 h 15 de mayo de 2015, 8:11 PM • 1 Y Y por Adventure10 Dado un triángulo acutángulo $PA_1B_1$ inscrito en el círculo $\Gamma$ con radio $1$. Para todo entero $n \ge 1$ se definen: $C_n$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $A_nB_n$, $O_n$ es el centro de $\odot (PA_nB_n)$, $A_{n+1}$ es el pie de la perpendicular desde $C_n$ a $PA_n$, $B_{n+1} \equiv PB_n \cap O_nA_{n+1}$. Si $PC_1 =\sqrt{2}$, encuentre la longitud de $PO_{2015}$. Fuente: Olimpiada Cono Sur - 2015 - Día 1 - Problema 3. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por drmzjoseph, 15 de mayo de 2015, 8:47 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 9:01 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un tablero de ajedrez de $ n \times n, n \geq 2$ está numerado con los números $ 1, 2, \ldots, n^2$ (y cada número aparece una vez). Demuestre que existen dos casillas adyacentes (con un lado común) tales que sus números difieren al menos en $ n.$ Z K Y