Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existe un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1$ , $d_2$ , $\ldots$ , $d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1,2,\ldots,k$ . a) ¿Hay infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$ , que sea un cuadrado perfecto de un entero?

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob están jugando un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$ -ágono regular. Alice juega el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos donde $k$ es el número de vértices vecinos ya coloreados de $V$ . (Por lo tanto, $k$ es $0$ , $1$ o $2$ . ) El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen el mismo número de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

Una colección $F$ de subconjuntos distintos (no necesariamente no vacíos) de $X = \{1,2,\ldots,300\}$ es encantadora si para cualesquiera tres conjuntos (no necesariamente distintos) $A$ , $B$ y $C$ en $F$ a lo sumo tres de los siguientes ocho conjuntos son no vacíos \n\begin{align*}A \cap B \cap C, \ \ \ \overline{A} \cap B \cap C, \ \ \ A \cap \overline{B} \cap C, \ \ \ A \cap B \cap \overline{C}, \\ \overline{A} \cap \overline{B} \cap C, \ \ \ \overline{A} \cap B \cap \overline {C}, \ \ \ A \cap \overline{B} \cap \overline{C}, \ \ \ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\n\end{align*} donde $\overline{S}$ denota el conjunto de todos los elementos de $X$ que no están en $S$ . ¿Cuál es el mayor número posible de conjuntos en una colección encantadora?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > BC$ , con incírculo $\tau$ centrado en $I$ que toca a $BC$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. El punto $M$ en $\tau$ es tal que $BM \parallel DE$ y $M$ y $B$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ . Sean $F$ y $H$ las intersecciones de $\tau$ con $BM$ y $CM$ distintas de $M$ , respectivamente. Sea $J$ un punto en la línea $AC$ tal que $JM \parallel EH$ . Sea $K$ la intersección de $JF$ y $\tau$ distinta de $F$ . Demuestre que $ME \parallel KH$ .

Encuentre todos los pares $(x,y)$ de números reales positivos tales que $xy$ es un entero y $x+y = \lfloor x^2 - y^2 \rfloor$ .

Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen divisores positivos $a$ , $b$ , $c$ de $n$ tales que $a>b>c$ y $a^2 - b^2$ , $b^2 - c^2$ , $a^2 - c^2$ también son divisores de $n$ .

Alrededor de una mesa circular, un número par de personas tienen una discusión. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa circular en un orden diferente. Demuestre que hay al menos dos personas tales que el número de participantes sentados entre ellos antes y después del descanso es el mismo.

Un punto $M$ es escogido en el lado $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABM$ y $BMC$ son iguales. Pruebe que \[ BM^{2} = X \cot \left( \frac {B}{2}\right) \] donde X es el área del triángulo $ABC.$

Un número de luces de señal están espaciadas equitativamente a lo largo de una vía de ferrocarril de un solo sentido, etiquetadas en orden $ 1,2, \ldots, N, N \geq 2.$ Como regla de seguridad, no se permite que un tren pase una señal si cualquier otro tren está en movimiento en la longitud de la vía entre éste y la siguiente señal. Sin embargo, no hay límite en el número de trenes que pueden estar estacionados inmóviles en una señal, uno detrás del otro. (Asuma que los trenes tienen longitud cero). Una serie de $ K$ trenes de carga deben ser conducidos desde la Señal 1 a la Señal $ N.$ Cada tren viaja a una velocidad distinta pero constante en todo momento cuando no está bloqueado por la regla de seguridad. Demuestre que, independientemente del orden en que se dispongan los trenes, transcurrirá el mismo tiempo entre la salida del primer tren de la Señal 1 y la llegada del último tren a la Señal $ N.$

La sucesión $ \{a_n\}$ de enteros está definida por \[ a_1 = 2, a_2 = 7 \] y \[ - \frac {1}{2} < a_{n + 1} - \frac {a^2_n}{a_{n - 1}} \leq \frac {}{}, n \geq 2. \] Pruebe que $ a_n$ es impar para todo $ n > 1.$