Sea ${ABC}$ un triángulo con $\angle BAC={{60}^{{}^\circ }}$ . Sean $D$ y $E$ los pies de las perpendiculares desde ${A}$ a las bisectrices del ángulo externo de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ , respectivamente. Sea ${O}$ el circuncentro del triángulo ${ABC}$ . Pruebe que las circunferencias circunscritas de los triángulos ${ADE}$ y ${BOC}$ son tangentes entre sí.

Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo, sea ${O}$ su circuncentro, y sean ${D,E,F}$ puntos en los lados ${BC,CA,AB}$ , respectivamente. El círculo ${(c_1)}$ de radio ${FA}$ , centrado en ${F}$ , cruza el segmento ${OA}$ en ${A'}$ y la circunferencia circunscrita ${(c)}$ del triángulo ${ABC}$ nuevamente en ${K}$ . Similarmente, el círculo ${(c_2)}$ de radio $DB$ , centrado en $D$ , cruza el segmento $\left( OB \right)$ en ${B}'$ y el círculo ${(c)}$ nuevamente en ${L}$ . Finalmente, el círculo ${(c_3)}$ de radio $EC$ , centrado en $E$ , cruza el segmento $\left( OC \right)$ en ${C}'$ y el círculo ${(c)}$ nuevamente en ${M}$ . Pruebe que los cuadriláteros $BKF{A}',CLD{B}'$ y $AME{C}'$ son todos cíclicos, y sus circunferencias circunscritas comparten un punto común.

Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo de centro $O$. Se sabe que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. En cada lado construimos semicírculos, externamente, como se muestra en la figura. a) Demuestre que los triángulos $AOB$ y $COD$ tienen áreas iguales. b) Si $AC=8$ cm y $BD= 6$ cm, determine el área de la región sombreada.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: un jugador escribe, en un tablero, un entero positivo $n$, después de esto eliminan un número en el tablero y escriben un nuevo número donde puede ser: i) El último número $p$, donde el nuevo número será $p - 2^k$ donde $k$ es el número más grande tal que $p\ge 2^k$ ii) El último número $p$, donde el nuevo número será $\frac{p}{2}$ si $p$ es par. Los jugadores juegan alternativamente, un jugador gana si el nuevo número es igual a $0$ y el jugador $A$ comienza. a) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 40$? b) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 2012$?

Una hormiga decide caminar sobre el perímetro de un triángulo $ABC$. La hormiga puede comenzar en cualquier vértice. Siempre que la hormiga está en un vértice, elige uno de los vértices adyacentes y camina directamente (en línea recta) hacia el vértice elegido. a) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente dos veces? b) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente tres veces? Nota: Para cada ítem, considere que el vértice de inicio es visitado.

Sea $n$ un entero positivo, los jugadores A y B juegan el siguiente juego: tenemos $n$ bolas con los números de $1, 2, 3, 4,...., n$ estas bolas estarán en dos cajas con los símbolos $\prod$ y $\sum$. En su turno, el jugador puede elegir una bola y el jugador colocará esta bola en alguna caja, al final todas las bolas de la caja $\prod$ se multiplican y obtendremos un número $P$, después de esto todas las bolas de la caja $\sum$ se suman y obtendremos un número $Q$ (si la caja $\prod$ está vacía $P = 1$, si la caja $\sum$ está vacía $Q = 0$). Los jugadores juegan alternativamente, el jugador A comienza, si $P + Q$ es par, el jugador A gana, de lo contrario, el jugador B gana. a) Si $n= 6$, ¿¿¿qué jugador tiene la estrategia ganadora??? b) Si $n = 2012$, ¿¿¿qué jugador tiene la estrategia ganadora???

Maria tiene un tablero de tamaño $n \times n$, inicialmente con todas las casas pintadas de blanco. Maria decide pintar de negro algunas casas en el tablero, formando un mosaico, como se muestra en la figura a continuación, de la siguiente manera: ella pinta de negro todas las casas del borde del tablero, y luego deja blancas las casas que aún no han sido pintadas. Luego pinta las casas en el borde del siguiente tablero restante nuevamente de negro, y así sucesivamente. a) Determine un valor de $n$ para que el número de casas negras sea igual a $200$. b) Determine el valor más pequeño de $n$ para que el número de casas negras sea mayor que $2012$.

Arnaldo y Bernaldo entrenan para una maratón a lo largo de una pista circular, que tiene en su centro un mástil con una bandera izada. Arnaldo corre más rápido que Bernaldo, de modo que cada $30$ minutos de carrera, mientras Arnaldo da $15$ vueltas a la pista, Bernaldo solo puede dar $10$ vueltas completas. Arnaldo y Bernaldo salieron en el mismo momento de la línea y corrieron con velocidades constantes, ambos en la misma dirección. Entre el minuto $1$ y el minuto $61$ de la carrera, ¿cuántas veces Arnaldo, Bernaldo y el mástil se volvieron colineales?

Cinco puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ se encuentran en un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$ . Sea $k$ un círculo tangente a $AD$ , $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$ , $B$ y $C$ . Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la línea tangente a $k$ que pasa por $A$ diferente de $AD$ . Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$ , $BF$ , $CE$ y $\tau$ .

Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x^3) + f(y)^3 + f(z)^3 = 3xyz $$ para todos los números reales $x$ , $y$ y $z$ con $x+y+z=0$ .