La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de dic. de 2018, 2:28 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo. Encuentre todas las $n$-tuplas $( a_1 , a_2 ,..., a_n )$ de enteros positivos distintos tales que $$ \frac{(a_1 + d ) (a_2 + d ) \cdot\cdot\cdot ( a_n + d )}{a_1a_2\cdot \cdot \cdot a_n }$$ sea un entero para todo entero $d\ge 0$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de dic. de 2018, 2:28 p. m. Razón: edición de nombre Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 8:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $\left[\sqrt{(n+1)^2 + n^2} \right], n = 1,2, \ldots,$ donde $[x]$ denota la parte entera de $x.$ Demuestre que i.) existen infinitos enteros positivos $m$ tales que $a_{m+1} - a_m > 1;$ ii.) existen infinitos enteros positivos $m$ tales que $a_{m+1} - a_m = 1.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 8:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El triángulo $ ABC$ está inscrito en un círculo. Las bisectrices interiores de los ángulos $ A, B$ y $ C$ se cortan nuevamente con el círculo en $ A', B'$ y $ C'$ respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $ A'B'C'$ es mayor o igual que el área del triángulo $ ABC.$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 7:11 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 8:53 a. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 Sea $ n$ un entero positivo. Encuentre el número de coeficientes impares del polinomio \[ u_n(x) = (x^2 + x + 1)^n. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 9:01 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un tablero de ajedrez de $ n \times n, n \geq 2$ está numerado con los números $ 1, 2, \ldots, n^2$ (y cada número aparece una vez). Demuestre que existen dos casillas adyacentes (con un lado común) tales que sus números difieren al menos en $ n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:48 p. m. • 2 Y Y por Mango247, Mango247 Varios números primos (algunos repetidos) están escritos en la pizarra. Mauro sumó los números de la pizarra y Fernando multiplicó los números de la pizarra. El resultado obtenido por Fernando es igual a $40$ veces el resultado obtenido por Mauro. Determine cuáles pueden ser los números de la pizarra. Dé todas las posibilidades. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 8:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $k$ un entero positivo y $M_k$ el conjunto de todos los enteros que están entre $2 \cdot k^2 + k$ y $2 \cdot k^2 + 3 \cdot k,$ ambos incluidos. ¿Es posible particionar $M_k$ en 2 subconjuntos $A$ y $B$ tales que \[ \sum_{x \in A} x^2 = \sum_{x \in B} x^2. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Johann Peter Dirichlet 377 publicaciones Johann Peter Dirichlet #1 h 4 de mar. de 2006, 3:00 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCDE$ un pentágono regular. La estrella $ACEBD$ tiene área 1. $AC$ y $BE$ se cortan en $P$, mientras que $BD$ y $CE$ se cortan en $Q$. Encuentre el área de $APQD$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ciobi_ 53 publicaciones Ciobi_ #1 h 2 de abril de 2025, 6:28 a. m. Y por Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, con circuncentro $O$, circunradio $R$ y ortocentro $H$. Sea $A_1$ un punto en $BC$ tal que $A_1H+A_1O=R$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Si $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{0}$, demuestre que $\triangle ABC$ es equilátero. Z K Y