La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 8:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $k$ un entero positivo y $M_k$ el conjunto de todos los enteros que están entre $2 \cdot k^2 + k$ y $2 \cdot k^2 + 3 \cdot k,$ ambos incluidos. ¿Es posible particionar $M_k$ en 2 subconjuntos $A$ y $B$ tales que \[ \sum_{x \in A} x^2 = \sum_{x \in B} x^2. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 8:53 a. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 Sea $ n$ un entero positivo. Encuentre el número de coeficientes impares del polinomio \[ u_n(x) = (x^2 + x + 1)^n. \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ciobi_ 53 publicaciones Ciobi_ #1 h 2 de abril de 2025, 6:28 a. m. Y por Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, con circuncentro $O$, circunradio $R$ y ortocentro $H$. Sea $A_1$ un punto en $BC$ tal que $A_1H+A_1O=R$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Si $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{0}$, demuestre que $\triangle ABC$ es equilátero. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 9:01 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un tablero de ajedrez de $ n \times n, n \geq 2$ está numerado con los números $ 1, 2, \ldots, n^2$ (y cada número aparece una vez). Demuestre que existen dos casillas adyacentes (con un lado común) tales que sus números difieren al menos en $ n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 9:11 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un tetraedro dado $ ABCD$, sean $ K$ y $ L$ los puntos medios de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestre que todo plano que contiene a la recta $ KL$ divide al tetraedro en dos partes de igual volumen. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de nov. de 2015, 9:01 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un gancho consiste en tres segmentos de longitud $1$ que forman dos ángulos rectos, como se demuestra en la figura. |_| Tenemos un cuadrado de longitud de lado $n$ dividido en $n^2$ cuadrados de longitud de lado $1$ mediante líneas paralelas a sus lados. Se colocan ganchos sobre este cuadrado de tal manera que cada segmento del gancho cubra un lado de un cuadrado pequeño. Dos segmentos de un gancho no pueden superponerse. Determine todos los valores posibles de $n$ para los cuales es posible cubrir los lados de los $n^2$ cuadrados pequeños. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:48 p. m. • 2 Y Y por Mango247, Mango247 Varios números primos (algunos repetidos) están escritos en la pizarra. Mauro sumó los números de la pizarra y Fernando multiplicó los números de la pizarra. El resultado obtenido por Fernando es igual a $40$ veces el resultado obtenido por Mauro. Determine cuáles pueden ser los números de la pizarra. Dé todas las posibilidades. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Johann Peter Dirichlet 377 publicaciones Johann Peter Dirichlet #1 h 4 de mar. de 2006, 3:00 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCDE$ un pentágono regular. La estrella $ACEBD$ tiene área 1. $AC$ y $BE$ se cortan en $P$, mientras que $BD$ y $CE$ se cortan en $Q$. Encuentre el área de $APQD$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de abril de 2020, 8:04 a. m. Y por A Una hoja de papel rectangular $ABCD$, de área $1$, se dobla a lo largo de su diagonal $AC$ y luego se desdobla, después se dobla de manera que el vértice $A$ coincida con el vértice $C$ y luego se desdobla, dejando el pliegue $MN$, como se muestra a continuación. a) Demuestre que el cuadrilátero $AMCN$ es un rombo. b) Si la diagonal $AC$ es el doble del ancho $AD$, ¿cuál es el área del rombo $AMCN$? //cdn.artofproblemsolving.com/images/8/7/5/87596f7dc14b51b32eea0f09a20bbdceae3db2f5.png Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. hydo2332 435 publicaciones hydo2332 #1 h 16 de mar. de 2021, 6:18 a. m. • 2 Y Y por betongblander, kingu Sean $r_A,r_B,r_C$ rayos desde el punto $P$. Defina los círculos $w_A,w_B,w_C$ con centros $X,Y,Z$ tales que $w_A$ sea tangente a $r_B,r_C$, $w_B$ sea tangente a $r_A,r_C$ y $w_C$ sea tangente a $r_A,r_B$. Suponga que $P$ se encuentra dentro del triángulo $XYZ$, y sean $s_A,s_B,s_C$ las tangentes internas a los círculos $w_B$ y $w_C$; $w_A$ y $w_C$; $w_A$ y $w_B$ que no contienen los rayos $r_A,r_B,r_C$ respectivamente. Demuestre que $s_A, s_B, s_C$ concurren en un punto $Q$, y también que $P$ y $Q$ son conjugados isotómicos. PD: Los rayos pueden ser líneas y el problema sigue siendo cierto. Z K Y