El punto ${P}$ está fuera del círculo ${\Omega}$ . Dos líneas tangentes, que pasan desde el punto ${P}$ tocan el círculo ${\Omega}$ en los puntos ${A}$ y ${B}$ . La mediana ${AM \left(M\in BP\right)}$ intersecta el círculo ${\Omega}$ en el punto ${C}$ y la línea ${PC}$ intersecta de nuevo el círculo ${\Omega}$ en el punto ${D}$ . Demuestra que las líneas ${AD}$ y ${BP}$ son paralelas. (Moldova)

Alrededor del triángulo $ABC$ el círculo está circunscrito, y en el vértice ${C}$ la tangente ${t}$ a este círculo está dibujada. La línea ${p}$ , que es paralela a esta tangente intersecta las líneas ${BC}$ y ${AC}$ en los puntos ${D}$ y ${E}$ , respectivamente. Demuestra que los puntos $A,B,D,E$ pertenecen al mismo círculo. (Montenegro)

Los reales positivos $x, y, z$ son tales que $x^2+y^2+z^2 = 3$ . Demuestra que $$\frac{x^2+yz}{x^2+yz +1}+\frac{y^2+zx}{y^2+zx+1}+\frac{z^2+xy}{z^2+xy+1}\leq 2$$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c = 3$. Encuentra el valor mínimo de la expresión \[A=\dfrac{2-a^3}a+\dfrac{2-b^3}b+\dfrac{2-c^3}c.\]

Si $a,b,c$ son números reales positivos, demuestra que: $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>2.$

Si $x^3-3\sqrt3 x^2 +9x - 3\sqrt3 -64=0$ encuentra el valor de $x^6-8x^5+13x^4-5x^3+49x^2-137x+2015$.

Sean x, y, z números reales, que satisfacen las relaciones $x \ge 20$ $y \ge 40$ $z \ge 1675$ x + y + z = 2015. Encuentra el mayor valor del producto P = $xyz$

Determinar todos los números de cuatro dígitos $\overline{abcd} $ tales que $(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) =\overline{abcd} $.

Encontrar todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que el número $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ es una potencia de $2016$. (Una potencia de $2016$ es un entero de la forma $2016^n$ , donde n es un entero no negativo.)

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que el número $A_n =\frac{ 2^{4n+2}+1}{65}$ es a) un entero, b) un primo.