Sean $a, b, c \in \mathbb R$ . Demuestra que \[(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) \geq (ab + bc + ca)^3.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Demuestra que existen al menos dos cuadriláteros no congruentes, ambos con una circunferencia circunscrita, tales que tienen perímetros y áreas iguales.

Sea $n$ un número natural compuesto y $p$ un divisor propio de $n$. Encuentra la representación binaria del número natural más pequeño $N$ tal que \[ \frac{(1 + 2^p + 2^{n-p})N - 1}{2^n}\] sea un entero.

Sea $L$ un subconjunto en el plano coordenado definido por $L = \{(41x + 2y, 59x + 15y) | x, y \in \mathbb Z \}$, donde $\mathbb Z$ es el conjunto de los enteros. Demostrar que para cualquier paralelogramo con centro en el origen de coordenadas y área $1990$, existen al menos dos puntos de $L$ ubicados en él.

Sea $\mathbb Q$ el conjunto de todos los números racionales y $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. La función $f: \mathbb Q \to \mathbb R$ satisface las siguientes condiciones: (i) $f(0) = 0$, y para cualquier $a \in Q, a \neq 0, f(a) > 0.$ (ii) $f(x + y) = f(x)f(y) \qquad \forall x,y \in \mathbb Q.$ (iii) $f(x + y) \leq \max\{f(x), f(y)\} \qquad \forall x,y \in \mathbb Q , x,y \neq 0.$ Sea $x$ un entero y $f(x) \neq 1$. Demostrar que $f(1 + x + x^2+ \cdots + x^n) = 1$ para cualquier entero positivo $n.$

Sea $n \geq 5$ un entero positivo. $a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n$ son enteros. Los pares $(a_i, b_i)$ son distintos por parejas para $i = 1, 2, \ldots, n$, y $|a_1b_2 - a_2b_1| = |a_2b_3 -a_3b_2| = \cdots = |a_{n-1}b_n -a_nb_{n-1}| = 1$ . Demostrar que existe un par de índices $i, j$ que satisfacen $2 \leq |i - j| \leq n - 2$ y $|a_ib_j -a_jb_i| = 1.$

Dado un punto $P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)$ en un espacio de dimensión $n$. Hallar el punto $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, tal que $x_1 \leq x_2 \leq\cdots \leq x_n$ y $\sqrt{(x_1-p_1)^2 + (x_2-p_2)^2+\cdots+(x_n-p_n)^2}$ sea mínimo.

Sea $BC$ un segmento, $M$ un punto en $BC$, $A$ un punto tal que $A, B, C$ no son colineales. (i) Demostrar que si $M$ es el punto medio de $BC$, entonces $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2).$ (ii) Si existe otro punto (excepto $M$) en el segmento $BC$ que satisface (i), hallar la región que podría ocupar el punto $A$.

Considere el conjunto de cuboides: las tres aristas $a, b, c$ desde un vértice común satisfacen la condición \n\n$\frac ab = \frac{a^2}{c^5}$\n\n(i) Demostrar que hay $100$ pares de cuboides en este conjunto con volúmenes iguales en cada par.\n(ii) Para cada par de los cuboides anteriores, hallar la razón de la suma de sus aristas.

En el plano coordenado, un punto variable $M$, partiendo del origen $O(0, 0)$, se mueve sobre la línea $l$ con pendiente $k$, donde $k$ es un número irracional.\n(i) Demostrar que el punto $O(0, 0)$ es el único punto racional (es decir, las coordenadas del cual son ambas racionales) en la línea $l$.\n(ii) Demostrar que para cualquier número $\varepsilon > 0$, existen enteros $m, n$ tales que la distancia entre $l$ y el punto $(m, n)$ es menor que $\varepsilon$.