Sean $a + bi$ y $c + di$ dos raíces de la ecuación $x^n = 1990$, donde $n \geq 3$ es un entero y $a,b,c,d \in \mathbb R$. Bajo la transformación lineal $f =\left(\begin{array}{cc}a&c\b &d\end{array}\right)$, tenemos que $(2, 1) \to (1, 2)$. Denotemos por $r$ la distancia desde la imagen de $(2, 2)$ al origen. Hallar el rango de $r.$

Hallar todas las funciones continuas acotadas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \n\n$(f(x))^2 -(f(y))^2 = f(x + y)f(x - y)$ para toda $ x, y \in \mathbb R.$

Demostrar que todo entero $k$ mayor que 1 tiene un múltiplo que es menor que $k^4$ y se puede escribir en el sistema decimal con a lo sumo cuatro dígitos diferentes.

Dado un conjunto $M$ de $m$ elementos y un subconjunto $K \subset M$ de $k$ elementos. Llamamos a una función $f: K \to M$ 'tiene camino', si existe un elemento $x_0 \in K$ tal que $f(x_0) = x_0$, o existe una cadena $x_0, x_1, \ldots, x_j = x_0 \in K$ tal que $x_i = f(x_{i-1})$ para $i = 1, 2, \ldots, j$. Encuentre el número de funciones $f: K \to M$ que tienen camino.

Sea $P$ un punto dentro de un tetraedro regular $T$ de volumen unitario. Los cuatro planos que pasan por $P$ y son paralelos a las caras de $T$ dividen a $T$ en 14 piezas. Sea $f(P)$ el volumen conjunto de aquellas piezas que no son ni un tetraedro ni un paralelepípedo (es decir, piezas adyacentes a una arista pero no a un vértice). Encuentre los límites exactos para $f(P)$ cuando $P$ varía sobre $T.$

Sean $a, b \in \mathbb{N}$ con $1 \leq a \leq b,$ y $M = \left[\frac {a + b}{2} \right].$ Defina una función $ f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ por \[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \ n - b, & \text{si } n >M. \end{cases} \]\nSea $ f^1(n) = f(n),$ $ f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)),$ $ i = 1, 2, \ldots$ Encuentre el número natural más pequeño $ k$ tal que $ f^k(0) = 0.$

Demuestre que podemos rellenar el espacio tridimensional con tetraedros regulares y octaedros regulares, todos los cuales tienen las mismas longitudes de arista. También encuentre la razón entre el número de tetraedros regulares utilizados y el número de octaedros regulares utilizados.

Se construyen 60 cubos unitarios en cuentas perforando un agujero a través de ellos a lo largo de una diagonal. Las cuentas se colocan en una cuerda de tal manera que puedan moverse libremente en el espacio bajo la restricción de que los vértices de dos cubos vecinos se toquen. Sea $A$ el vértice inicial y $B$ el vértice final. Sean $p \times q \times r$ cubos en la cuerda $ (p, q, r \geq 1).$\n(a) Determine para qué valores de $p, q,$ y $r$ es posible construir un bloque con dimensiones $p, q,$ y $r.$ Justifique sus respuestas.\n(b) La misma pregunta que en (a) con la condición adicional de que $A = B.$

Dados ocho números reales $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_7 \leq a_8$ . Sea $x = \frac{ a_1 + a_2 + \cdots + a_7 + a_8}{8}$ , $y = \frac{ a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_7^2 + a_8^2}{8}$ . Pruebe que \[2 \sqrt{y-x^2} \leq a_8 - a_1 \leq 4 \sqrt{y-x^2}.\]

Pruebe que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades: a.) Todos los ángulos son iguales. b.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.