La secuencia $\{u_n\}$ está definida por $u_1 = 1, u_2 = 1, u_n = u_{n-1} + 2u_{n-2} \text{ para } n \geq 3$. Pruebe que para cualquier entero positivo $n, p \ (p > 1), u_{n+p} = u_{n+1}u_{p} + 2u_nu_{p-1}$. También encuentre el máximo común divisor de $u_n$ y $u_{n+3}.$

Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, defina el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} -K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n$. (i) Defina $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentre $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ .

Dados los puntos $A, M, M_1$ y el número racional $\lambda \neq -1$. Construir el triángulo $ABC$, tal que $M$ se encuentra en $BC$ y $M_1$ se encuentra en $B_1C_1$ ($B_1, C_1$ son las proyecciones de $B, C$ en $AC, AB$ respectivamente), y $\frac{BM}{MC}=\frac{B_1M_1}{M_1C_1}=\lambda.$

Sea $M = \{1, 2, \ldots, n\}$ y $\phi : M \to M$ una biyección.\n\n(i) Pruebe que existen biyecciones $\phi_1, \phi_2 : M \to M$ tales que $\phi_1 \cdot \phi_2 = \phi , \phi_1^2 =\phi_2^2=E$ , donde $E$ es la función identidad.\n\n(ii) Pruebe que la conclusión en (i) también es verdadera si $M$ es el conjunto de todos los enteros positivos.

Encuentre la(s) solución(es) real(es) para el sistema de ecuaciones\n\[\begin{cases}x^3+y^3 &=1\\x^5+y^5 &=1\end{cases}\]

Sean los números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ satisfacen $0 < a_i \leq a, \ i = 1, 2, \ldots, n$ . Pruebe que\n\n(i) Si $n = 4$ , entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^4 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1}{a^2} \leq 2.\]\n\n(ii) Si $n = 6$ , entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^6 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_5 a_6 + a_6 a_1}{a^2} \leq 3.\]

Determine para qué enteros positivos $k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede ser particionado en dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B.$

Durante el intervalo de clase, $n$ niños se sientan en un círculo y juegan el juego que se describe a continuación. El maestro recorre a los niños en el sentido de las agujas del reloj y les entrega dulces de acuerdo con las siguientes reglas:\n\nSeleccione un niño, déle un caramelo; y déle también un caramelo al niño que está al lado del primer niño; luego salte un niño y déle un caramelo al siguiente niño; luego salte dos niños; déle un caramelo al siguiente niño; luego salte tres niños; déle un caramelo al siguiente niño;...\n\nEncuentre el valor de $n$ para el cual el maestro puede asegurarse de que cada niño obtenga al menos un caramelo eventualmente (tal vez después de muchos círculos).

$AB, AC$ son dos cuerdas del círculo con centro en $O$. El diámetro, que es perpendicular a $BC$, intersecta a $AB, AC$ en $F, G$ respectivamente ( $F$ está en el círculo). La tangente desde $G$ es tangente al círculo en $T$. Demuestra que $F$ es la proyección de $T$ en $OG.

Demuestra que $\sqrt 2 +\sqrt 3 +\sqrt{1990}$ es irracional.