En el plano coordenado se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo se divide en triángulos de tal manera que\n(i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (que se llamará lado 'bueno') que se encuentra en una línea de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altitud en este lado tiene longitud 1;\n(ii) cada lado 'malo' (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no es 'bueno') es un lado común de dos triángulos en la partición. Demuestra que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos.

Para cada $P$ dentro del triángulo $ABC$, sean $A(P), B(P)$ y $C(P)$ los puntos de intersección de las líneas $AP, BP$ y $CP$ con los lados opuestos a $A, B$ y $C$, respectivamente. Determinar $P$ de tal manera que el área del triángulo $A(P)B(P)C(P)$ sea lo más grande posible.

El turista en una isla puede jugar al juego de 'obtener el tesoro'. Tiene que abrir una serie de puertas, cada puerta está coloreada con uno de n colores, de acuerdo con las siguientes reglas:\n(i) El turista tiene n llaves, cada llave con un color diferente.\n(ii) Una vez que se usa una llave, no está permitido cambiarla hasta que se destruya.\n(iii) Cada llave puede abrir cualquier puerta, y permanece intacta cuando abre la puerta que tiene un color diferente al suyo, pero se destruye cuando abre la puerta que tiene el mismo color que ella. Encuentra el número mínimo de puertas para asegurar que ningún turista, sin importar cómo elija el orden de las llaves a usar, pueda obtener el tesoro.

Demostrar que para cualquier entero positivo $n$, el número de enteros impares entre los coeficientes binomiales $\binom nh \ ( 0 \leq h \leq n)$ es una potencia de 2.

Sea $V$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $S_1, S_2, S_3$ los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $V$ sobre el plano $yz$, el plano $zx$, el plano $xy$, respectivamente. Demostrar que $| V|^2 \leq | S1|\cdot|S2|\cdot |S3|$ , donde $| A|$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A.$

Encontrar $n$ puntos $p_1, p_2, \ldots, p_n$ en la circunferencia de un círculo unitario, tal que $\sum_{1\leq i< j \leq n} p_i p_j$ sea maximal.

Sea $n$ un entero positivo arbitrario. Calcular $S_n = \sum_{r=0}^n 2^{r-2n} \binom{2n-r}{n}.$

Dados tres letras $X, Y, Z$, podemos construir secuencias de letras arbitrariamente, tales como $XZ, ZZYXYY, XXYZX$, etc. Para cualquier secuencia dada, podemos realizar las siguientes operaciones:\n$T_1$ : Si la letra más a la derecha es $Y$, entonces podemos agregar $YZ$ después de ella, por ejemplo, $T_1(XYZXXY) = (XYZXXYYZ)$.\n$T_2$ : Si la secuencia contiene $YYY$, podemos reemplazarlos por $Z$, por ejemplo, $T_2(XXYYZYYYX) = (XXYYZZX)$.\n$T_3$ : Podemos reemplazar $Xp$ ( $p$ es cualquier sub-secuencia) por $XpX$, por ejemplo, $T_3(XXYZ) = (XXYZX)$.\n$T_4$ : En una secuencia que contiene uno o más $Z$, podemos reemplazar el primer $Z$ por $XY$, por ejemplo, $T_4(XXYYZZX) = (XXYYXYZX)$.\n$T_5$ : Podemos reemplazar cualquiera de $XX, YY, ZZ$ por $X$, por ejemplo, $T_5(ZZYXYY) = (XYXX)$ o $(XYXYY)$ o $(ZZYXX)$.\nUsando las operaciones anteriores, ¿podemos obtener $XYZZ$ de $XYZ$?

Sean $a, b, c$ enteros. Demostrar que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2$ y $r_2$ , que satisfacen $a = q_1r_2 - q_2r_1, b = r_1p_2 - r_2p_1$ y $c = p_1q_2 - p_2q_1.$

Sea $\alpha$ la raíz positiva de la ecuación cuadrática $x^2 = 1990x + 1$ . Para cualesquiera $m, n \in \mathbb N$ , defina la operación $m*n = mn + [\alpha m][ \alpha n]$ , donde $[x]$ es el entero más grande no mayor que $x$ . Demostrar que $(p*q)*r = p*(q*r)$ se cumple para todo $p, q, r \in \mathbb N.$