Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad \[\binom n2 \sum_{i<j} \frac{1}{a_ia_j} \geq 4 \left( \sum_{i<j} \frac{1}{a_i+a_j} \right)^2\]

Encuentra dígitos $x, y, z$ tales que la igualdad \[\sqrt{\underbrace{\overline{xx\cdots x}}_{2n \text{ veces}}-\underbrace{\overline{yy\cdots y}}_{n \text{ veces}}}=\underbrace{\overline{zz\cdots z}}_{n \text{ veces}}\] se cumple para al menos dos valores de $n \in \mathbb N$, y en ese caso encuentra todos los $n$ para los cuales esta igualdad es verdadera.

¿Existe un entero $z$ que puede escribirse de dos maneras diferentes como $z = x! + y!$, donde $x, y$ son números naturales con $x \le y$?

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $x = 1964 \sin x - 189$?

Encontrar $x$ tal que trigonométrico \[\frac{\sin 3x \cos (60^\circ -4x)+1}{\sin(60^\circ - 7x) - \cos(30^\circ + x) + m}=0\] donde $m$ es un número real fijo.

Se nos da una bolsa de azúcar, una balanza de dos platos y una pesa de $1$ gramo. ¿Cómo obtenemos $1$ kilogramo de azúcar en el menor número posible de pesajes?

¿Para qué disposiciones de dos cilindros circulares infinitos su intersección se encuentra en un plano?

Sea $m$ un polígono convexo en un plano, $l$ su perímetro y $S$ su área. Sea $M(R)$ el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio cuya distancia a $m$ es $\leq R$, y $V(R)$ es el volumen del sólido $M(R)$. \n\na.) Demostrar que \[V (R) = \frac 43 \pi R^3 +\frac{\pi}{2} lR^2 +2SR.\]\n\nAquí, decimos que la distancia de un punto $C$ a una figura $m$ es $\leq R$ si existe un punto $D$ de la figura $m$ tal que la distancia $CD$ es $\leq R$. (Este punto $D$ puede estar en la frontera de la figura $m$ y dentro de la figura.)\n\npregunta adicional:\n\nb.) Encontrar el área de la vecindad plana $R$ de un polígono convexo o no convexo $m$.\n\nc.) Encontrar el volumen de la vecindad $R$ de un poliedro convexo, por ejemplo, de un cubo o de un tetraedro.\n\nNota de Darij: Supongo que la ''vecindad $R$'' de una figura se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a la figura es $\leq R$.

Demuestre la desigualdad \[\tan \frac{\pi \sin x}{4\sin \alpha} + \tan \frac{\pi \cos x}{4\cos \alpha} >1\] para cualquier $x, \alpha$ con $0 \leq x \leq \frac{\pi }{2}$ y $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}.$

Dados $5$ puntos en el plano, no tres de ellos siendo colineales. Demuestre que entre estos $5$ puntos, siempre podemos encontrar $4$ puntos formando un cuadrilátero convexo.