Tres caras de un tetraedro son triángulos rectángulos, mientras que la cuarta no es un triángulo obtuso. (a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la cuarta cara sea un triángulo rectángulo es que en algún vértice exactamente dos ángulos sean rectos. (b) Demuestre que si todas las caras son triángulos rectángulos, entonces el volumen del tetraedro es igual a un sexto del producto de las tres aristas más pequeñas que no pertenecen a la misma cara.

Sean $P$ y $P^{\prime }$ dos paralelogramos con áreas iguales, y sean las longitudes de sus lados $a,$ $b$ y $a^{\prime },$ $b^{\prime }.$ Asuma que $a^{\prime }\leq a\leq b\leq b^{\prime },$ y además, es posible colocar el segmento $b^{\prime }$ de tal manera que se encuentre completamente en el interior del paralelogramo $P.$ Demuestre que el paralelogramo $P$ se puede dividir en cuatro polígonos de tal manera que estos cuatro polígonos se puedan componer nuevamente para formar el paralelogramo $P^{\prime }.$

Demuestre que el volumen $V$ y el área lateral $S$ de un cono circular recto satisfacen la desigualdad \[\left( \frac{6V}{\pi}\right)^2 \leq \left( \frac{2S}{\pi \sqrt 3}\right)^3\] ¿Cuándo se da la igualdad?

Dados tres rectángulos congruentes en el espacio. Sus centros coinciden, pero los planos en los que se encuentran son mutuamente perpendiculares. Para dos cualquiera de los tres rectángulos, la línea de intersección de los planos de estos dos rectángulos contiene una paralela media de un rectángulo y una paralela media del otro rectángulo, y estas dos paralelas medias tienen diferentes longitudes. Considere el poliedro convexo cuyos vértices son los vértices de los rectángulos. \na.) ¿Cuál es el volumen de este poliedro?\nb.) ¿Puede este poliedro resultar ser un poliedro regular? Si es así, ¿cuál es la condición para que este poliedro sea regular?

Construya un triángulo dados los radios de los excírculos.

Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $ '').

Sean $ABCD$ y $A^{\prime }B^{\prime}C^{\prime }D^{\prime }$ dos paralelogramos arbitrarios en el espacio, y sean $M$, $N$, $P$, $Q$ puntos que dividen los segmentos $AA^{\prime }$, $BB^{\prime }$, $CC^{\prime }$, $DD^{\prime }$ en razones iguales. \na.) Demuestre que el cuadrilátero $MNPQ$ es un paralelogramo.\nb.) ¿Cuál es el lugar geométrico del centro del paralelogramo $MNPQ$, cuando el punto $M$ se mueve en el segmento $AA^{\prime }$? (Los vértices consecutivos de los paralelogramos están etiquetados en orden alfabético.

Dado un círculo $K$ con centro $S$ y radio $1$ y un cuadrado $Q$ con centro $M$ y lado $2$. Sea $XY$ la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles $XYZ$. Describa el lugar geométrico de los puntos $Z$ cuando $X$ varía a lo largo de $K$ e $Y$ varía a lo largo de la frontera de $Q$.

Dados cuatro puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D$ en un círculo tales que $AB$ es un diámetro y $CD$ no es un diámetro. Demuestra que la línea que une el punto de intersección de las tangentes al círculo en los puntos $C$ y $D$ con el punto de intersección de las líneas $AC$ y $BD$ es perpendicular a la línea $AB.$

¿Cuál es el número máximo de regiones en que un círculo puede ser dividido por segmentos que unen $n$ puntos en el borde del círculo?