Dado dos círculos internamente tangentes; en el más grande inscribimos un triángulo equilátero. Desde cada uno de los vértices de este triángulo, trazamos una tangente al círculo más pequeño. Demostrar que la longitud de una de estas tangentes es igual a la suma de las longitudes de las otras dos tangentes.

Las longitudes de los lados $a$, $b$, $c$ de un triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética (tal que $b-a=c-b$). Las longitudes de los lados $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ de un triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ también forman una progresión aritmética (con $b_{1}-a_{1}=c_{1}-b_{1}$). [Por lo tanto, $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, $a_{1}=B_{1}C_{1}$, $b_{1}=C_{1}A_{1}$, $c_{1}=A_{1}B_{1}$.] Además, sabemos que $\measuredangle CAB=\measuredangle C_{1}A_{1}B_{1}$. Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ son similares.

Resolver la ecuación $|x^2 -1|+ |x^2 - 4| = mx$ como una función del parámetro $m$. ¿Qué pares $(x,m)$ de enteros satisfacen esta ecuación?

Sea $n$ un entero positivo, pruebe que : (a) $\log_{10}(n + 1) > \frac{3}{10n} +\log_{10}n ;$ (b) $ \log n! > \frac{3n}{10}\left( \frac 12+\frac 13 +\cdots +\frac 1n -1\right).$

Un número natural dado $N$ se está descomponiendo en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentre todas esas descomposiciones para $N=500.$ b.) ¿Cuántas descomposiciones de este tipo tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen sumandos naturales solamente? c.) Determine el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera como un número natural.

En el plano, considere un círculo con centro $S$ y radio $1.$ Sea $ABC$ un triángulo arbitrario que tiene este círculo como su incírculo, y asuma que $SA\leq SB\leq SC.$ Encuentre el lugar geométrico de a.) todos los vértices $A$ de tales triángulos; b.) todos los vértices $B$ de tales triángulos; c.) todos los vértices $C$ de tales triángulos.

Dado un punto $P$ que se encuentra en una línea $g,$ y dado un círculo $K.$ Construya un círculo que pase por el punto $P$ y que toque el círculo $K$ y la línea $g.$

Demostrar la desigualdad a.) $ \left( a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\right) ^{2}\leq k\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}\right) , $ donde $k\geq 1$ es un número natural y $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{k}$ son números reales arbitrarios. b.) Usando la desigualdad (1), demuestre que si los números reales $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ satisfacen la desigualdad \[ a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq \sqrt{\left( n-1\right) \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right) }, \] entonces todos estos números $a_{1},$ $a_{2},$ $\ldots,$ $a_{n}$ son no negativos.

Demuestre que \[\tan 7 30^{\prime }=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2.\]

Hay $n\geq 2$ personas en una reunión. Demuestre que existen dos personas en la reunión que tienen el mismo número de amigos entre las personas en la reunión. (Se asume que si $A$ es amigo de $B,$ entonces $B$ es amigo de $A;$ además, nadie es su propio amigo.)