Dados $5$ puntos en un plano, no tres de ellos siendo colineales. Cada dos de estos $5$ puntos están unidos con un segmento, y cada uno de estos segmentos está pintado de rojo o azul; asuma que no hay triángulo cuyos lados son segmentos de igual color. a.) Demuestre que: (1) Entre los cuatro segmentos que se originan en cualquiera de los $5$ puntos, dos son rojos y dos son azules. (2) Los segmentos rojos forman un camino cerrado que pasa por todos los $5$ puntos dados. (Similarmente para los segmentos azules.) b.) Dé un plan de cómo pintar los segmentos de rojo o azul para tener la condición (ningún triángulo con lados del mismo color) satisfecha.

Dada una secuencia finita de enteros $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ para $n\geq 2.$ Demuestre que existe una subsecuencia $a_{k_{1}},$ $a_{k_{2}},$ $...,$ $a_{k_{m}},$ donde $1\leq k_{1}<k_{2}<...<k_{m}\leq n,$ tal que el número $a_{k_{1}}^{2}+a_{k_{2}}^{2}+...+a_{k_{m}}^{2}$ es divisible por $n.$

Dado un $n$-gono regular $A_{1}A_{2}...A_{n}$ (con $n\geq 3$ ) en un plano. ¿Cuántos triángulos del tipo $A_{i}A_{j}A_{k}$ son obtusos?

Para un número real positivo $p$ , encuentre todas las soluciones reales a la ecuación $\sqrt{x^2 + 2px - p^2} -\sqrt{x^2 - 2px - p^2} =1.$

Considere un círculo con centro $O$ y radio $R,$ y sean $A$ y $B$ dos puntos en el plano de este círculo. a.) Trace una cuerda $CD$ del círculo tal que $CD$ sea paralelo a $AB,$ y el punto de la intersección $P$ de las líneas $AC$ y $BD$ se encuentre en el círculo. b.) Demostrar que, en general, se obtienen dos puntos posibles $P$ ( $P_{1}$ y $P_{2}$ ) que satisfacen la condición del problema anterior, y calcular la distancia entre estos dos puntos, si se dan las longitudes $OA=a,$ $OB=b$ y $AB=d$.

Dos círculos concéntricos tienen radios $R$ y $r$ respectivamente. Determinar el mayor número posible de círculos que son tangentes a ambos círculos y mutuamente no intersecantes. Demostrar que este número se encuentra entre $\frac 32 \cdot \frac{\sqrt R +\sqrt r }{\sqrt R -\sqrt r } -1$ y $\frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}.$

Demostrar que las cuatro perpendiculares trazadas desde los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cíclico a los lados opuestos respectivos son concurrentes. Nota de Darij: Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo. Demostrar que los centroides de los triángulos $ABC,$ $CDA,$ $BCD,$ $DAB$ se encuentran en un círculo.

Sea $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ un polinomio con coeficientes enteros $a$, $b$, $c$, $d$ tal que $ad$ es un número impar y $bc$ es un número par. Demostrar que (al menos) una raíz del polinomio es irracional.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $\left( x; y\right) $ que satisfacen la ecuación $2^{x}=3^{y}+5.$