Demuestre que en todo hexágono convexo de área $S$ se puede trazar una diagonal que corte un triángulo de área que no exceda $\frac{1}{6}S.$

Una figura con área $1$ se recorta de papel. Dividimos esta figura en $10$ partes y las coloreamos en $10$ colores diferentes. Ahora, volteamos el trozo de papel, dividimos la misma figura en el otro lado del papel en $10$ partes nuevamente (de alguna manera diferente). Demuestre que podemos colorear estas nuevas partes con los mismos $10$ colores nuevamente (por la presente, diferentes partes deben tener diferentes colores) de tal manera que la suma de las áreas de todas las partes de la figura coloreadas con el mismo color en ambos lados sea $\geq \frac{1}{10}.$

Considere $n$ estudiantes con números $1, 2, \ldots, n$ de pie en el orden $1, 2, \ldots, n.$ Tras una orden, cualquiera de los estudiantes permanece en su lugar o cambia su lugar con otro estudiante. (En realidad, si el estudiante $A$ cambia su lugar con el estudiante $B,$ entonces $B$ ya no puede cambiar su lugar con ningún otro estudiante $C$ hasta que llegue la siguiente orden.) ¿Es posible organizar a los estudiantes en el orden $n,1, 2, \ldots, n-1$ después de dos órdenes?

Para cualquier cuadrilátero con las longitudes de los lados $a,$ $b,$ $c,$ $d$ y el área $S,$ demuestre la desigualdad $S\leq \frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}.$

Dos paredes de espejo se colocan para formar un ángulo de medida $\alpha$ . Hay una vela dentro del ángulo. ¿Cuántos reflejos de la vela puede ver un observador?

¿Para qué números reales $p$ la ecuación $x^{2}+px+3p=0$ tiene soluciones enteras?

Considere todos los segmentos que dividen el área de un triángulo $ABC$ en dos partes iguales. Encuentre la longitud del segmento más corto entre ellos, si las longitudes de los lados $a,$ $b,$ $c$ del triángulo $ABC$ son dados. ¿Cuántos de estos segmentos más cortos existen?

Sean $a,b,c$ reales y \[f(a, b, c) = \left| \frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} -\frac 2c \right| +\frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} +\frac 2c\]. Demuestra que $f(a, b, c) = 4 \max \{\frac 1a, \frac 1b,\frac 1c \}.$

Un alfabeto consta de $n$ letras. ¿Cuál es la longitud máxima de una palabra si sabemos que dos letras consecutivas $a,b$ de la palabra son diferentes y que la palabra no se puede reducir a una palabra del tipo $abab$ con $a\neq b$ eliminando letras?

¿Cuál es el mayor número de bolas de radio $1/2$ que se pueden colocar dentro de una caja rectangular de tamaño $10 \times 10 \times 1$?