Olimpiada Internacional de Matemáticas 1966 Problema 63
Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en el interior de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de este triángulo. Demostrar que el área de al menos uno de los tres triángulos $ AQR$ , $ BRP$ , $ CPQ$ es menor o igual a un cuarto del área del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa: Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en los segmentos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Demostrar que $ \min\left\{\left|AQR\right|,\left|BRP\right|,\left|CPQ\right|\right\}\leq\frac14\cdot\left|ABC\right|$ , donde la abreviatura $ \left|P_1P_2P_3\right|$ denota el área (no dirigida) de un triángulo arbitrario $ P_1P_2P_3$ .
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1966 Problema 62
Resolver el sistema de ecuaciones \[ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1 \] \[ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1 \] \[ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4=1 \] \[ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3=1 \] donde $a_1, a_2, a_3, a_4$ son cuatro números reales diferentes.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1966 Problema 61
Demostrar que para cada número natural $n$ , y para cada número real $x \neq \frac{k\pi}{2^t}$ ( $t=0,1, \dots, n$ ; $k$ cualquier entero) \[ \frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+\dots+\frac{1}{\sin{2^nx}}=\cot{x}-\cot{2^nx} \]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1966 Problema 60
Demuestra que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular desde el centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices desde cualquier otro punto en el espacio.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1966 Problema 59
Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo, y $\alpha, \beta, \gamma$ respectivamente, los ángulos opuestos a estos lados. Demuestra que si \[ a+b=\tan{\frac{\gamma}{2}}(a\tan{\alpha}+b\tan{\beta}) \] el triángulo es isósceles.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1966 Problema 58
En un concurso de matemáticas, se plantearon tres problemas, $A,B,C$. Entre los participantes había 25 estudiantes que resolvieron al menos un problema cada uno. De todos los concursantes que no resolvieron el problema $A$, el número que resolvió $B$ fue el doble del número que resolvió $C$. El número de estudiantes que resolvieron solo el problema $A$ fue uno más que el número de estudiantes que resolvieron $A$ y al menos otro problema. De todos los estudiantes que resolvieron solo un problema, la mitad no resolvió el problema $A$. ¿Cuántos estudiantes resolvieron solo el problema $B$?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1966 Problema 57
¿Es posible elegir un conjunto de $100$ (o $200$) puntos en la frontera de un cubo tal que este conjunto sea fijo bajo cada isometría del cubo en sí mismo? Justifica tu respuesta.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1966 Problema 56
En un tetraedro, los tres pares de aristas opuestas (oblicuas) son mutuamente perpendiculares. Demuestra que los puntos medios de las seis aristas del tetraedro se encuentran en una esfera.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1966 Problema 55
Dado el vértice $A$ y el centroide $M$ de un triángulo $ABC$ , encuentre el lugar geométrico de los vértices $B$ tal que todos los ángulos del triángulo se encuentren en el intervalo $[40^\circ, 70^\circ].$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1966 Problema 54
Tomamos $100$ números naturales consecutivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{100}.$ Determine los dos últimos dígitos del número $a_{1}^{8}+a_{2}^{8}+...+a_{100}^{8}.$
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