Un prisma triangular regular tiene la altura $h,$ y las dos bases del prisma son triángulos equiláteros con longitud de lado $a.$ Se hacen orificios de ensueño en los centros de ambas bases, y las tres caras laterales son espejos. Asuma que un rayo de luz, entrando al prisma a través del orificio de ensueño en la base superior, luego siendo reflejado una vez por cualquiera de los tres espejos, sale del prisma a través del orificio de ensueño en la base inferior. Encuentre el ángulo entre la base superior y el rayo de luz en el momento en que el rayo de luz entró al prisma, y la longitud del camino del rayo de luz en el interior del prisma.

Dados $n$ números positivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ tales que $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}=1.$ Demuestra \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{n}\right) \geq 2^{n}.\]

Dados $n>3$ puntos en el plano tales que no tres de los puntos son colineales. ¿Existe un círculo que pase por (al menos) $3$ de los puntos dados y que no contenga ningún otro de los $n$ puntos en su interior?

Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto que no sea $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2. E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos líneas que pasan por $C$. Demuestre que las líneas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento en $t_2$ igual en longitud al segmento en $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2$.

Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demostrar que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

Hallar el mayor número natural $n$ tal que existen números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfacen las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$ : \[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]

Dada una sucesión $\{a_n\}$ de números reales tal que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$ , demostrar que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$ , \[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$ , sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$ . Demostrar que las bisectrices perpendiculares de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Demostrar que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (El $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ posibles subconjuntos no vacíos.)

Pruebe que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.