Sea $\{x_n\}$ una secuencia de números naturales tales que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\]. Pruebe que, para cada número natural $k$ , existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

Dado tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1,2,3,4,5,6,7 y 8 pertenece al menos a una de ellas, pruebe que el número 1980 también pertenece al menos a una de ellas.

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

Diez jugadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzan cinco dados. En cada etapa, el jugador que lanzó paga a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada jugador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12, y después del pago resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son (externa o internamente) tangentes en un punto $P$. La línea recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demostrar que la línea recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$.

Sea $p$ un número primo. Demostrar que no hay ningún número divisible por $p$ en la fila $n-ésima$ del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse en la forma $n = p^sq - 1$ , donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB], [BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos se encuentra con el tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evaluar la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ como una función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.

La función $f$ está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determinar $f$.

Hallar los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

En un sistema de coordenadas rectangulares, llamamos triangular a una línea horizontal paralela al eje $x$ si interseca la curva con ecuación\n\[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\]\nen los puntos $A,B,C$ y $D$ (de izquierda a derecha) de tal manera que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestra que las líneas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.