Determina todos los enteros positivos $n$ tales que la siguiente afirmación sea verdadera: Si un polígono convexo con $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos\n\[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\]\nson paralelos, entonces los lados\n\[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\]\nson paralelos también.

Demuestra que la ecuación\n\[ x^n + 1 = y^{n+1}, \]\ndonde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones enteras positivas en $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son relativamente primos.

Define los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera:\n\[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \]\nDemuestra que\n\[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La bisectriz perpendicular de $AB$ interseca a $BC$ en el punto $X$, la bisectriz perpendicular de $AC$ lo interseca en $Y$. Demuestra que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: Demuestra que una condición suficiente para $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Demuestra que esta condición no es necesaria, y da una condición necesaria y suficiente para $BC = XY$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $\ell$ una línea tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las líneas obtenidas al reflejar $\ell$ en las líneas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las líneas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.

Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Suponga que, para dos enteros cualesquiera $m$ y $n$, la diferencia $f(m) - f(n)$ es divisible por $f(m- n)$. Demuestre que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Sea $n > 0$ un entero. Se nos da una balanza y $n$ pesas de peso $2^0, 2^1, \cdots, 2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de tal manera que el plato derecho nunca sea más pesado que el plato izquierdo. En cada paso, elegimos una de las pesas que aún no se ha colocado en la balanza y la colocamos en el plato izquierdo o en el plato derecho, hasta que se hayan colocado todas las pesas. Determine el número de formas en que esto se puede hacer.

Tenemos un triángulo $ ABC $ y hacemos rectángulos $ ABA_1B_2 $ , $ BCB_1C_2 $ y $ CAC_1A_2 $ fuera de él. luego trace una línea a través de $ A_2 $ perpendicular a $ C_1A_2 $ y trace otra línea a través de $ A_1 $ perpendicular a $ A_1B_2 $ . sea $ A' $ el punto común de estas dos líneas. de esta manera hacemos $ B' $ y $ C' $ . pruebe que $ AA' $ , $ BB' $ y $ CC' $ se intersecan entre sí en el mismo punto.

En el triángulo $ABC$, dibujamos el círculo con centro $A$ y radio $AB$. Este círculo interseca a $AC$ en dos puntos. También dibujamos el círculo con centro $A$ y radio $AC$ y este círculo interseca a $AB$ en dos puntos. Denotamos estos cuatro puntos por $A_1, A_2, A_3, A_4$. Encuentra los puntos $B_1, B_2, B_3, B_4$ y $C_1, C_2, C_3, C_4$ de manera similar. Suponga que estos $12$ puntos se encuentran en dos círculos. Demuestra que el triángulo $ABC$ es isósceles.

Sea $ H $ el ortocentro del triángulo $ ABC $ trace dos líneas $ l_1 $ y $ l_2 $ a través de $ H $ tales que $ l_1 \bot l_2 $ tenemos $ l_1 \cap BC = D $ y $ l_1 \cap AB = Z $ también $ l_2 \cap BC = E $ y $ l_2 \cap AC = X $ como en esta imagen trace una línea $ d_1$ a través de $ D $ paralela a $ AC $ y otra línea $ d_2 $ a través de $ E $ paralela a $ AB $ sea $ d_1 \cap d_2 = Y $ pruebe que $ X $ $ , $ $ Y $ y $ Z $ están en la misma línea