¿Cuántos enteros positivos $N$ en el segmento $\left[10, 10^{20} \right]$ son tales que si todos sus dígitos se incrementan en $1$ y luego se multiplican, el resultado es $N+1$ ?

$AK$ y $BL$ son alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ . Se elige un punto $P$ en el segmento $AK$ de modo que $LK=LP$ . La paralela a $BC$ que pasa por $P$ se encuentra con la paralela a $PL$ que pasa por $B$ en el punto $Q$ . Demuestre que $\angle AQB = \angle ACB$ .

Se dibujan en el plano los ejes de coordenadas (sin marcas, con la misma escala) y la gráfica de un trinomio cuadrático $y = x^2 + ax + b$ . Los números $a$ y $b$ no se conocen. ¿Cómo dibujar un segmento unitario usando solo regla y compás?

Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en las rectas $BC$ y $AC$ respectivamente de modo que $B$ está entre $C$ y $D$ , $C$ está entre $A$ y $E$ , $BC = BD$ y $\angle BAD = \angle CDE$ . Se sabe que la razón entre los perímetros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ es $2$ . Encuentre la razón entre las áreas de estos triángulos.

Cada arista de un grafo completo con $101$ vértices está marcada con $1$ o $-1$ . Se sabe que el valor absoluto de la suma de los números en todas las aristas es menor que $150$ . Demuestre que el grafo contiene un camino que visita cada vértice exactamente una vez tal que la suma de los números en todas las aristas de este camino es cero.

Todos los coeficientes no nulos del polinomio $f(x)$ son iguales a $1$ , mientras que la suma de los coeficientes es $20$ . ¿Es posible que trece coeficientes de $f^2(x)$ sean iguales a $9$ ?

Para cada entero positivo $m$ sea $t_m$ el entero positivo más pequeño que no divide a $m$ . Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no se pueden representar en la forma $m + t_m$ . (A. Golovanov)

Encuentra todos los enteros positivos $a\geq 2 $ y $b\geq2$ tales que $a$ es par y todos los dígitos de $a^b+1$ son iguales.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Denotemos $\Delta$ la tangente en $A$ al círculo $\Gamma$ . $\Gamma_1$ es un círculo tangente a las líneas $\Delta$ , $(AB)$ y $(BC)$ , y $E$ su punto de tangencia con la línea $(AB)$ . Sea $\Gamma_2$ un círculo tangente a las líneas $\Delta$ , $(AC)$ y $(BC)$ , y $F$ su punto de tangencia con la línea $(AC)$ . Suponemos que $E$ y $F$ pertenecen respectivamente a los segmentos $[AB]$ y $[AC]$ , y que los dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran fuera del triángulo $ABC$ . Demuestra que las líneas $(BC)$ y $(EF)$ son paralelas.

Para conectarse al sitio OFM, Alice debe elegir una contraseña. Esta última debe constar de $n$ caracteres entre los siguientes $27$ caracteres: $$A, B, C, . . ., Y , Z, \#$$ Decimos que una contraseña $m$ es redundante si podemos colorear en rojo y azul un bloque de letras consecutivas de $m$ de tal manera que la palabra formada por las letras rojas sea idéntica a la palabra formada por las letras azules. Por ejemplo, la contraseña $H\#ZBZJBJZ$ es redundante, porque contiene el bloque ZB Z J BJ, donde la palabra $ZBJ$ aparece tanto en azul como en rojo. De lo contrario, la contraseña $ABCACB$ no es redundante. Demuestra que, para cualquier entero $n \ge 1$ , existen al menos $18^n$ contraseñas de longitud $n$ , es decir, formadas por $n$ caracteres cada una, que no son redundantes.