Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple la siguiente igualdad\n\[\nf(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor\n\] donde $\left\lfloor a\right\rfloor $ es el mayor entero no mayor que $a.$

Los grados de los polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales no superan $n$ . Estos polinomios satisfacen la identidad \[ P(x) x^{n + 1} + Q(x) (x+1)^{n + 1} = 1. \] Determine todos los valores posibles de $Q \left( - \frac{1}{2} \right)$ .

Varios policías intentan atrapar a un ladrón que tiene $2m$ cómplices. Para ello, ponen a los cómplices bajo vigilancia. Al principio, los policías no vigilan a nadie. Cada mañana, cada policía pone bajo su vigilancia a uno de los cómplices. Cada noche, el ladrón deja de confiar en uno de sus cómplices. El ladrón es capturado si en la $m$ -ésima noche algún policía vigila exactamente a esos $m$ cómplices en los que el ladrón todavía confía. Demuestre que para garantizar la captura del ladrón se necesitan al menos $2^m$ policías.

Se da un triángulo isósceles $ABC$ ( $AB = BC$ ). Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ se encuentran en el ángulo $ABC$ y tocan los lados $AB$ y $CB$ en $A$ y $C$ respectivamente, y se tocan externamente en el punto $X$ . El lado $AC$ se encuentra con los círculos nuevamente en los puntos $Y$ y $Z$ . $O$ es el circuncentro del triángulo $XYZ$ . Las rectas $O_2 O$ y $O_1 O$ intersectan las rectas $AB$ y $BC$ en los puntos $C_1$ y $A_1$ respectivamente. Demuestre que $B$ es el circuncentro del triángulo $A_1 OC_1$ .

Se dibujan en el plano los ejes de coordenadas (sin marcas, con la misma escala) y la gráfica de un trinomio cuadrático $y = x^2 + ax + b$ . Los números $a$ y $b$ no se conocen. ¿Cómo dibujar un segmento unitario usando solo regla y compás?

Dados los números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$ . Sea \[ m = \min \left( a_1 + \frac{1}{a_2}, a_2 + \frac{1}{a_3}, \dots, a_{n - 1} + \frac{1}{a_n} , a_n + \frac{1}{a_1} \right). \] Demuestre la desigualdad \[ \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} + \frac{1}{\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}} \ge m. \]

Para cada entero positivo $k$ , sea $g(k)$ el número máximo posible de puntos en el plano tales que las distancias entre pares de estos puntos tienen solo $k$ valores diferentes. Demuestre que existe $k$ tal que $g(k) > 2k + 2020$ .

Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en las rectas $BC$ y $AC$ respectivamente de modo que $B$ está entre $C$ y $D$ , $C$ está entre $A$ y $E$ , $BC = BD$ y $\angle BAD = \angle CDE$ . Se sabe que la razón entre los perímetros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ es $2$ . Encuentre la razón entre las áreas de estos triángulos.

¿El sistema de ecuaciones \n\begin{align*}\n\begin{cases}\nx_1 + x_2 &= y_1 + y_2 + y_3 + y_4 \\\nx_1^2 + x_2^2 &= y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 \\\nx_1^3 + x_2^3 &= y_1^3 + y_2^3 + y_3^3 + y_4^3\n\end{cases}\n\end{align*}admite una solución en enteros tal que el valor absoluto de cada uno de estos enteros sea mayor que $2020$ ?

En una tira horizontal de $1 \times n$ hecha de $n$ cuadrados unitarios, los vértices de todos los cuadrados están marcados. La tira se divide en partes por segmentos que conectan puntos marcados y que no se encuentran en los lados de la tira. Los segmentos no pueden tener puntos interiores en común; el extremo superior de cada segmento debe estar por encima del extremo inferior o más a la derecha. Demuestre que el número de todas las particiones es divisible por $2^n$ . (La partición donde no se dibujan segmentos, también se cuenta.)