En el plano cartesiano dibujamos circunferencias de radio 1/20 centradas en cada punto reticular. Demuestra que cualquier circunferencia de radio 100 en el plano cartesiano interseca al menos una de las circunferencias pequeñas.

Decimos que un número de 20 dígitos es especial si es imposible representarlo como un producto de un número de 10 dígitos por un número de 11 dígitos. Encuentra la cantidad máxima de números consecutivos que son especiales.

La unidad monetaria de un cierto país se llama Reo, y todas las monedas que circulan son valores enteros de Reos. En un grupo de tres personas, cada una tiene 60 Reos en monedas (pero no sabemos qué tipo de monedas tiene cada una). Cada una de las tres personas puede pagar a las demás cualquier valor entero entre 1 y 15 Reos, incluyendo, quizás con cambio. Demuestra que las tres personas juntas pueden pagar exactamente (sin cambio) cualquier valor entero entre 45 y 135 Reos, inclusive.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $AN$ , $BM$ y $CP$ las alturas con respecto a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sean $R$ , $S$ las proyecciones de $N$ en los lados $AB$ , $CA$ , respectivamente, y sean $Q$ , $W$ las proyecciones de $N$ en las alturas $BM$ y $CP$ , respectivamente.\n(a) Demuestra que $R$ , $Q$ , $W$ , $S$ son colineales.\n(b) Demuestra que $MP=RS-QW$ .

Sea $a_n$ el último dígito de la suma de los dígitos de $20052005...2005$ , donde el bloque $2005$ ocurre $n$ veces. Encuentra $a_1 +a_2 + \dots +a_{2005}$ .

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una secuencia de números reales positivos, y $s$ un entero positivo, tal que\n\[a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \ \textrm{ para todo } \ n > s.\]\nDemostrar que existen enteros positivos $\ell \leq s$ y $N$ , tales que\n\[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ para todo } \ n \geq N.\]

Encontrar todas las funciones $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que\n\[\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)\]\nes un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}.$

Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ inicialmente contiene una moneda. Se permiten las siguientes operaciones Tipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , quitar una moneda de $B_j$ y agregar dos monedas a $B_{j+1}$ ; Tipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , quitar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos (posiblemente vacíos) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ . Determinar si existe una secuencia finita de operaciones de los tipos permitidos, de modo que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contenga exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas.

Sea $P$ un punto interior al triángulo $ABC$ (con $CA \neq CB$ ) . Las líneas $AP$ , $BP$ y $CP$ se encuentran nuevamente con su circuncírculo $\Gamma$ en $K$ , $L$ , respectivamente $M$ . La línea tangente en $C$ a $\Gamma$ se encuentra con la línea $AB$ en $S$ . Demostrar que de $SC = SP$ se deduce $MK = ML$ .

Dado un triángulo $ABC$ , con $I$ como su incentro y $\Gamma$ como su circuncírculo, $AI$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $D$ . Sea $E$ un punto en el arco $BDC$ , y $F$ un punto en el segmento $BC$ , tal que $\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC$ . Si $G$ es el punto medio de $IF$ , probar que el punto de encuentro de las líneas $EI$ y $DG$ se encuentra en $\Gamma$ .