Sea $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AC = BC.$ Su incírculo toca a $ AB$ en $ D$ y a $ BC$ en $ E.$ Una línea distinta de $ AE$ pasa por $ A$ e intersecta al incírculo en $ F$ y $ G.$ La línea $ AB$ intersecta a las líneas $ EF$ y $ EG$ en $ K$ y $ L,$ respectivamente. Pruebe que $ DK = DL.$

Considere un tablero de ajedrez de $ n \times n$ con $ n > 1, n \in \mathbb{N}.$ ¿Cuántas posibilidades hay de colocar $ 2n - 2$ guijarros idénticos en el tablero de ajedrez (cada uno en un campo/lugar diferente) de tal manera que no haya dos guijarros en la misma diagonal del tablero de ajedrez? Dos guijarros están en la misma diagonal del tablero de ajedrez si el segmento de conexión de los puntos medios de los campos respectivos es paralelo a una de las diagonales del cuadrado $ n \times n$.

Sea $ (a_n)^{\infty}_{n=1}$ una secuencia de enteros con $ a_{n} < a_{n+1}, \quad \forall n \geq 1.$ Para toda cuádrupla $ (i,j,k,l)$ de índices tal que $ 1 \leq i < j \leq k < l$ e $ i + l = j + k$ tenemos la desigualdad $ a_{i} + a_{l} > a_{j} + a_{k}.$ Determine el menor valor posible de $ a_{2008}.$

La secuencia $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones:\n(i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ ,\n(ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todo $1\le k<\ell$ .\nDemuestre que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ .

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x$ e $y$ .

El triángulo $ABC$ tiene circuncírculo $\Omega$ y circuncentro $O$ . Un círculo $\Gamma$ con centro $A$ interseca el segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ , de modo que $B$ , $D$ , $E$ , y $C$ son todos diferentes y están en la línea $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$ , de modo que $A$ , $F$ , $B$ , $C$ , y $G$ están en $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$ . Sea $L$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$ . Suponga que las líneas $FK$ y $GL$ son diferentes y se intersecan en el punto $X$ . Demuestre que $X$ está en la línea $AO$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma $ su circuncírculo, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altura desde $A$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $Q$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$ . Suponga que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $K$ y $Q$ son todos diferentes y están en $\Gamma$ en este orden. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí.

Encuentra todos los enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$ son todas potencias de $2$ .

Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si, para cualesquiera dos puntos diferentes $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$ , existe un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$ . Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centro si para cualesquiera tres puntos diferentes $A$ , $B$ y $C$ en $\mathcal{S}$ , no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$ . \n(a) Demostrar que para todo entero $n\ge 3$ , existe un conjunto equilibrado que consta de $n$ puntos.\n(b) Determinar todos los enteros $n\ge 3$ para los cuales existe un conjunto equilibrado libre de centro que consta de $n$ puntos.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$ . Una línea $r$ que pasa por el incentro $I$ de $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Sean $F$ y $G$ puntos en $BC$ tales que $BF=CE$ y $CG=BD$ . Demuestra que el ángulo $\angle FIG$ es constante cuando variamos la línea $r$ .