Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (aparte de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.

Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $23$, demuestra que $M$ contiene un subconjunto de $4$ elementos cuyo producto es la cuarta potencia de un entero.

Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestra que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}). \]

Sean $n$ y $k$ enteros positivos relativamente primos con $k<n$. Cada número en el conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ se colorea de azul o blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$ tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestra que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

Un círculo tiene su centro en el lado $AB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados son tangentes al círculo. Demuestra que $AD+BC=AB$.

Pruebe: Si la suma de todos los divisores positivos de $ n \in \mathbb{Z}^{+}$ es una potencia de dos, entonces el número/cantidad de los divisores es una potencia de dos.

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ E$ un punto tal que $ E$ y $ B$ están en lados distintos de la línea $ AC,$ y $ D$ es un punto interior del segmento $ AE.$ Tenemos $ \angle ADB = \angle CDE,$ $ \angle BAD = \angle ECD,$ y $ \angle ACB = \angle EBA.$ Pruebe que $ B, C$ y $ E$ se encuentran en la misma línea.

En una pizarra hay $ n \geq 2, n \in \mathbb{Z}^{+}$ números. En cada paso seleccionamos dos números de la pizarra y reemplazamos ambos por su suma. Determine todos los números $ n$ para los cuales es posible obtener $ n$ números idénticos después de un número finito de pasos.

Determine todas las funciones $ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ x f(x + xy) = x f(x) + f \left( x^2 \right) f(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}.\]

Determine todos los $ k \in \mathbb{Z}$ tales que $ \forall n$ los números $ 4n+1$ y $ kn+1$ no tienen divisor común.