Cien polígonos convexos se colocan en un cuadrado con un lado de longitud $38 cm.$ El área de cada uno de los polígonos es menor que $\pi cm^2,$ y el perímetro de cada uno de los polígonos es menor que $2\pi cm.$ Demuestre que existe un disco con radio $1$ en el cuadrado que no intersecta ninguno de los polígonos.

Encuentre todas las funciones $f$ definidas para todas las $x$ que satisfacen la condición $xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y),$ para todas las $x$ e $y.$ Demuestre que exactamente dos de ellas son continuas.

Demuestre que la ecuación $\sqrt{x^3 + y^3 + z^3}=1969$ no tiene soluciones integrales.

Evalúe $\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)^{10}$ de dos maneras diferentes y demuestre que $\dbinom{10}{1}-\dbinom{10}{3}+\frac{1}{2}\dbinom{10}{5}=2^4$

Sea $G$ el centroide del triángulo $OAB$. (a) Demuestra que todas las cónicas que pasan por los puntos $O, A, B, G$ son hipérbolas. (b) Halla el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas.

Sea $O$ un punto en una cónica no degenerada. Un ángulo recto con vértice $O$ interseca la cónica en los puntos $A$ y $B$. Demuestra que la línea $AB$ pasa a través de un punto fijo localizado en la normal a la cónica a través del punto $O$.

Construye el círculo que es tangente a tres círculos dados.

(a) Halla las ecuaciones de las hipérbolas regulares que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0),$ y $C(0, \gamma)$. (b) Demuestra que todas estas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$. (c) Halla el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. (d) Verifica si este lugar geométrico coincide con el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$.

Una parábola $P_1$ con ecuación $x^2 - 2py = 0$ y una parábola $P_2$ con ecuación $x^2 + 2py = 0, p > 0$ son dadas. Una línea $t$ es tangente a $P_2$. Halla el lugar geométrico del polo $M$ de la línea $t$ con respecto a $P_1$.

Para cada número real $x_1$, construye la sucesión $x_1,x_2,\ldots$ estableciendo: \[ x_{n+1}=x_n(x_n+{1\over n}). \] Demuestra que existe exactamente un valor de $x_1$ que da $0<x_n<x_{n+1}<1$ para todo $n$.