Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ el último dígito del número $x^m$ en el sistema numérico con base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$ ? Demuestra que la secuencia $x_m$ es periódica con período $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$ ? Demuestra que si $m$ y $x$ son relativamente primos, entonces $0_m, 1_m, . . . , (n-1)_m$ son números diferentes. Encuentra el período mínimo $t$ en términos de $n$ . Si n no cumple la condición dada, demuestra que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la secuencia es periódica comenzando solo desde algún número $k > 1.$

Sean $a$ y $b$ dos enteros no negativos. Denotemos por $H(a, b)$ el conjunto de números $n$ de la forma $n = pa + qb,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Determina $H(a) = H(a, a)$ . Demuestra que si $a \neq b,$ es suficiente conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ para números coprimos $a, b$ para conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ . Demuestra que en el caso de números coprimos $a$ y $b, H(a, b)$ contiene todos los números mayores o iguales a $\omega = (a - 1)(b -1)$ y también $\frac{\omega}{2}$ números menores que $\omega$

Sean $d$ y $p$ dos números reales. Encuentra el primer término de una progresión aritmética $a_1, a_2, a_3, \cdots$ con diferencia $d$ tal que $a_1a_2a_3a_4 = p.$ Encuentra el número de soluciones en términos de $d$ y $p.$

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con lados $AB = a, BC = b, CD = c, DA = d$ y ángulos $\alpha = \angle DAB, \beta = \angle ABC, \gamma = \angle BCD,$ y $\delta = \angle CDA$. Sea $s = \frac{a + b + c +d}{2}$ y $P$ el área del cuadrilátero. Demuestra que $P^2 = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd \cos^2\frac{\alpha +\gamma}{2}$

Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestre que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$ , donde $K = K_1 + \cdots + K_n$

Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestre que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$ Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestre que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tal que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$

Sea $p$ un número primo impar. ¿Es posible encontrar $p-1$ números naturales $n + 1, n + 2, . . . , n + p -1$ tal que la suma de los cuadrados de estos números sea divisible por la suma de estos números?

Dado un cubo unitario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran en los lados del cubo.

Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Suponga que existe un par de puntos que no pueden unirse mediante una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z$. Llamemos a tal par de puntos no unibles. Demuestre que para cada $r > 0$ real, existe un par de puntos no unibles separados por una distancia $r$.

Sea $M$ el punto dentro del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestre que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$