Encuentre todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tenga solución, $(b)$ tenga exactamente una solución, $(c)$ tenga exactamente dos soluciones, $(d)$ tenga más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4})$.

Definamos $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n, a$ y $b$ siendo enteros positivos. Exprese $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b$. Demuestre el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestre que $b$ divide a $a(u_b -1)$.

El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestre que, sujeto a restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y sobre cuya superficie se encuentran los puntos $A, B, C, D$. ¿Cuáles son las restricciones?

Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O$. El sólido se apoya sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda está unido a un punto de la base. La cuerda se estira (inicialmente manteniéndose en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se mantiene presionada en el punto $P$ del hemisferio de manera que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestre que si $\alpha$ es suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestre que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, siendo $S$ donde inicialmente cruzó esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$.

Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen un divisor común mayor que $1$ . Demuestra que el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ es $ab - a - b$ . Si $N(k)$ es el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ de solo $k$ maneras, encuentra $N(k).$

El polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$ , donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, se dice que es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para cada valor entero de $x$ . Muestra que si $P(x)$ es divisible por $m$ , entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$ . También demuestra que si $a, k,m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$ , entonces un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ puede ser encontrado que es divisible por $m.$

Considera el entero $d = \frac{a^b-1}{c}$ , donde $a, b$ , y $c$ son enteros positivos y $c \le a.$ Demuestra que el conjunto $G$ de enteros que están entre $1$ y $d$ y son relativamente primos con $d$ (el número de tales enteros se denota por $\phi(d)$ ) puede ser particionado en $n$ subconjuntos, cada uno de los cuales consiste de $b$ elementos. ¿Qué se puede decir sobre el número racional $\frac{\phi(d)}{b}?$

Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$ , y sea $\beta(n)$ el número de triples $(x, y, z)$ tales que $ x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentra una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego evalúa $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6$ . ¿Qué se puede decir sobre $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$ ? ¿Y qué sobre $\frac{(n+3)^2}{6}$ ? Encuentra el número de triples $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir sobre la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$ ?

Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la línea $OB$ es tangente a la línea $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo diferente de $OA$ ( $T$ es el punto de tangencia). Demuestra que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ intersecta a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$

Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de la red de una cuadrícula rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y B el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentra el número $T = 2S- B -2I + 2.$