Encuentre las posiciones de tres puntos $A,B,C$ en la frontera de un cubo unitario tal que $min\{AB,AC,BC\}$ sea lo más grande posible.

Sean $r$ y $m (r \le m)$ números naturales y $Ak =\frac{2k-1}{2m}\pi$ . Evalúe $\frac{1}{m^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\sin(rA_k)\sin(rA_l)\cos(rA_k-rA_l)$

Si $a_1, a_2, . . . , a_n$ son constantes reales, y si $y = \cos(a_1 + x) +2\cos(a_2+x)+ \cdots+ n \cos(a_n + x)$ tiene dos ceros $x_1$ y $x_2$ cuya diferencia no es un múltiplo de $\pi$ , demuestre que $y = 0.$

En el plano se dan $4000$ puntos de tal manera que cada línea pasa por a lo sumo $2$ de estos puntos. Demuestre que existen $1000$ cuadriláteros disjuntos en el plano con vértices en estos puntos.

Prueba que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$

Sean $a$ y $b$ enteros arbitrarios. Demuestra que si $k$ es un entero no divisible por $3$ , entonces $(a + b)^{2k}+ a^{2k} +b^{2k}$ es divisible por $a^2 +ab+ b^2$

Dado un anillo $G$ en el plano limitado por dos círculos concéntricos con radios $R$ y $\frac{R}{2}$ , prueba que podemos cubrir esta región con $8$ discos de radio $\frac{2R}{5}$ . (Una región está cubierta si cada uno de sus puntos está dentro o en el borde de algún disco.)

Encuentra el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser dividida por $n$ círculos.

Encuentra el número de permutaciones $a_1, \cdots, a_n$ del conjunto $\{1, 2, . . ., n\}$ tal que $|a_i - a_{i+1}| \neq 1$ para todo $i = 1, 2, . . ., n - 1.$ Encuentra una fórmula de recurrencia y evalúa el número de tales permutaciones para $n \le 6.$

Demuestre que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n$.