Un niño tiene un conjunto de trenes y piezas de vía férrea. Cada pieza es un cuarto de círculo, y al concatenar estas piezas, el niño obtuvo un ferrocarril cerrado. El ferrocarril no se interseca a sí mismo. Al pasar por este ferrocarril, el tren a veces va en el sentido de las agujas del reloj y, a veces, en la dirección opuesta. Demuestre que el tren pasa un número par de veces a través de las piezas en el sentido de las agujas del reloj y un número par de veces en el sentido contrario a las agujas del reloj. Además, demuestre que el número de piezas es divisible por $4.$

Sean $x_1, x_2, x_3, x_4,$ y $x_5$ enteros positivos que satisfacen \[x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 = 1000,\]\n\[x_1 -x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\]\n\[x_1 +x_2 -x_3 +x_4 -x_5 > 0,\]\n\[-x_1 +x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\]\n\[x_1 -x_2 +x_3 +x_4 -x_5 > 0,\]\n\[-x_1 +x_2 -x_3 +x_4 +x_5 > 0\]\n$(a)$ Encuentre el máximo de $(x_1 + x_3)^{x_2+x_4}$\n$(b)$ ¿De cuántas maneras diferentes podemos elegir $x_1, . . . , x_5$ para obtener el máximo deseado?

$C$ es un punto en el semicírculo de diámetro $AB$, entre $A$ y $B$. $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ hasta $AB$. El círculo $K_1$ es el incírculo de $ABC$, el círculo $K_2$ toca a $CD,DA$ y al semicírculo, el círculo $K_3$ toca a $CD,DB$ y al semicírculo. Demuestre que $K_1,K_2$ y $K_3$ tienen otra tangente común aparte de $AB$.

Los vértices de un $(n + 1)-$ágono se colocan en los bordes de un $n-$ágono regular de manera que el perímetro del $n-$ágono se divide en partes iguales. ¿Cómo se eligen estos $n + 1$ puntos para obtener el $(n + 1)-$ágono con $(a)$ área máxima; $(b)$ área mínima?

Dados $n>4$ puntos en el plano, no tres colineales. Demostrar que hay al menos $\frac{(n-3)(n-4)}{2}$ cuadriláteros convexos con vértices entre los $n$ puntos.

Encontrar el radio del círculo circunscrito sobre el triángulo isósceles cuyos lados son las soluciones de la ecuación $x^2 - ax + b = 0$.

Sean $p$ y $q$ dos números primos mayores que $3$. Demostrar que si su diferencia es $2^n$, entonces para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, el número $S = p^{2m+1} + q^{2m+1}$ es divisible por $3$.

Sean $A_k (1 \le k \le h)$ conjuntos de $n$ elementos tales que cada dos de ellos tienen una intersección no vacía. Sea $A$ la unión de todos los conjuntos $A_k$, y sea $B$ un subconjunto de $A$ tal que para cada $k (1\le k \le h)$ la intersección de $A_k$ y $B$ consiste exactamente de dos elementos diferentes $a_k$ y $b_k$. Encontrar todos los subconjuntos $X$ del conjunto $A$ con $r$ elementos que satisfacen la condición de que para al menos un índice $k$, ambos elementos $a_k$ y $b_k$ pertenecen a $X$.

Dados los reales $x_0, x_1, \alpha, \beta$, encontrar una expresión para la solución del sistema \[x_{n+2} -\alpha x_{n+1} -\beta x_n = 0, \qquad n= 0, 1, 2, \ldots\]

Encuentre el número de números de cinco dígitos con las siguientes propiedades: hay dos pares de dígitos tales que los dígitos de cada par son iguales y están uno al lado del otro, los dígitos de diferentes pares son diferentes y el dígito restante (que no pertenece a ninguno de los pares) es diferente de los otros dígitos.