$(SWE 2)$ Para cada $\lambda (0 < \lambda < 1$ y $\lambda = \frac{1}{n}$ para todo $n = 1, 2, 3, \cdots)$ , construya una función continua $f$ tal que no existan $x, y$ con $0 < \lambda < y = x + \lambda \le 1$ para los cuales $f(x) = f(y).$

$(SWE 1)$ Se dan seis puntos $P_1, . . . , P_6$ en un espacio $3-$dimensional tales que no cuatro de ellos están en el mismo plano. Cada uno de los segmentos de línea $P_jP_k$ se colorea de negro o blanco. Demuestre que existe un triángulo $P_jP_kP_l$ cuyos bordes son del mismo color.

Dado un triángulo $ ABC $ con puntos $ M $ y $ N $ en los lados $ AB $ y $ AC $ respectivamente. Si $ \dfrac{BM}{MA} +\dfrac{CN}{NA} = 1 $ , entonces demuestre que el centroide de $ ABC $ está en $ MN $ .

Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen un número igual $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestre que si $m > \frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

Para cada $k=1,2,3,4,5$, encuentre las condiciones necesarias y suficientes sobre $a>0$ tales que exista un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y el resto de longitud $1$.

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1,$ y $k + 2$. Demuestre que $f(m)$ es divisible por $3$ para todos los enteros $m.$

Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ que no están en el mismo plano, encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ tales que $MA^2 +MB^2 = MC^2 +MD^2.$

Demuestre que un polígono regular con un número impar de lados no se puede dividir en cuatro piezas con áreas iguales mediante dos líneas que pasan por el centro del polígono.

Una curva está determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ y se construye en una cuadrícula rectangular. Determine el número de cuadrados cortados por la curva.

Las bisectrices de los ángulos exteriores de un pentágono $B_1B_2B_3B_4B_5$ forman otro pentágono $A_1A_2A_3A_4A_5.$ Construya $B_1B_2B_3B_4B_5$ a partir del pentágono dado $A_1A_2A_3A_4A_5.$