Suponga que los números reales positivos $x_1, x_2, x_3$ satisfacen $x_1x_2x_3 > 1, x_1 + x_2 + x_3 <\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$ Demostrar que: $(a)$ Ninguno de $x_1, x_2, x_3$ es igual a $1$ . $(b)$ Exactamente uno de estos números es menor que $1.$

Dados $5$ puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales, demuestre que podemos elegir $4$ puntos entre ellos que forman un cuadrilátero convexo.

Dados los números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ que satisfacen $x_1>0,x_2>0,x_1y_1>z_1^2$ , y $x_2y_2>z_2^2$ , demostrar que: \[ {8\over(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le{1\over x_1y_1-z_1^2}+{1\over x_2y_2-z_2^2}. \] Dar condiciones necesarias y suficientes para la igualdad.

Demostrar que si $0 \le a_0 \le a_1 \le a_2,$ entonces $(a_0 + a_1x - a_2x^2)^2 \le (a_0 + a_1 + a_2)^2\left(1 +\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^3+x^4\right)$. Formular y demostrar el resultado análogo para polinomios de tercer grado.

Demuestra que para $a > b^2,$ la identidad ${\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$

Demuestra que para un número natural $n > 2, (n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$

Demuestra que hay infinitos enteros positivos que no se pueden expresar como la suma de cuadrados de tres enteros positivos.

¿Qué números naturales se pueden expresar como la diferencia de cuadrados de dos enteros?

Sean $a_0, a_1, a_2, \cdots$ determinados por $a_0 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2^n$. Demuestra que si $n$ es una potencia de $2$, entonces también lo es $a_n$.

$(SWE 3)$ Encuentre el número natural $n$ con las siguientes propiedades: $(1)$ Sea $S = \{P_1, P_2, \cdots\}$ un conjunto finito arbitrario de puntos en el plano, y $r_j$ la distancia desde $P_j$ hasta el origen $O.$ Asignamos a cada $P_j$ el disco cerrado $D_j$ con centro $P_j$ y radio $r_j$ . Entonces, algunos $n$ de estos discos contienen todos los puntos de $S.$ $(2)$ $n$ es el entero más pequeño con la propiedad anterior.