Se da un tablero cuadrado con dimensiones $2023 \times 2023$ , en el que cada celda unitaria está coloreada de azul o rojo. Hay exactamente $1012$ filas en las que la mayoría de las celdas son azules, y exactamente $1012$ columnas en las que la mayoría de las celdas son rojas. ¿Cuál es la longitud lateral máxima posible del cuadrado monocromático más grande?

Sean $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{250}$ números reales tales que $a_1=2$ y $$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2}$$ para cada $n=1,2, \ldots, 249$ . Sea $x$ el mayor entero que es menor que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{250}}$$ ¿Cuántos dígitos tiene $x$?

Encontrar la constante máxima $C$ tal que, siempre que $\{a_n \}_{n=1}^{\infty}$ sea una secuencia de números reales positivos que satisfacen $a_{n+1}-a_n=a_n(a_n+1)(a_n+2)$ , tenemos $$\frac{a_{2023}-a_{2020}}{a_{2022}-a_{2021}}>C.$$

Sean $a \geq b \geq 1 \geq c \geq 0$ números reales tales que $a+b+c=3$ . Demuestra que $$3 \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \geq 4c^2+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$$

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos con $abcd=1$ . Demuestra que $$\sqrt{\frac{a}{b+c+d^2+a^3}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a^2+b^3}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b^2+c^3}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c^2+d^3}} \leq 2$$

Demuestra que para todos los números reales no negativos $x,y,z$ , no todos iguales a $0$ , la siguiente desigualdad se cumple $\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$ Determina todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad.

Para números reales positivos $x,y,z$ con $xy+yz+zx=1$ , demuestra que $$\frac{2}{xyz}+9xyz \geq 7(x+y+z)$$

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c,d$ , $$\frac{2}{(a+b)(c+d)+(b+c)(a+d)} \leq \frac{1}{(a+c)(b+d)+4ac}+\frac{1}{(a+c)(b+d)+4bd}$$ y determina cuando ocurre la igualdad.

Sean cuatro puntos $A_i (i = 1, 2, 3, 4)$ en el plano que determinan cuatro triángulos. En cada uno de estos triángulos elegimos el ángulo más pequeño. La suma de estos ángulos se denota por $S.$ ¿Cuál es la posición exacta de los puntos $A_i$ si $S = 180^{\circ}$ ?

Un parque tiene la forma de un pentágono convexo de área $50000\sqrt{3} m^2$ . Un hombre de pie en un punto interior $O$ del parque se da cuenta de que se encuentra a una distancia de como máximo $200 m$ de cada vértice del pentágono. Demuestre que se encuentra a una distancia de al menos $100 m$ de cada lado del pentágono.