Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altitud desde $A$ a $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, pruebe que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos.

Sean $D,E,F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de un triángulo dado $ABC$ con los lados $BC, CA, AB,$ respectivamente. Denotemos por $I$ el incentro de $ABC$, por $M$ el punto medio de $BC$ y por $G$ el pie de la perpendicular desde $M$ a la línea $EF$. Pruebe que la línea $ID$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MGI$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, para el cual $B$ y $C$ son ángulos agudos. $M$ y $N$ son las proyecciones del vértice $B$ en las líneas $AC$ y $AD$, respectivamente, $P$ y $T$ son las proyecciones del vértice $D$ en las líneas $AB$ y $AC$ respectivamente, $Q$ y $S$ son las intersecciones de los pares de líneas $MN$ y $CD$, y $PT$ y $BC$, respectivamente. Pruebe las siguientes afirmaciones: a) $NS \parallel PQ \parallel AC$ ; b) $NP=SQ$ ; c) $NPQS$ es un rectángulo si, y sólo si, $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$.

G3 Sean $A,B,C,D$ y $E$ cinco puntos que se encuentran en este orden en un círculo, tales que $AD=BC$ . Las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en un punto $F$ . Los circuncírculos de los triángulos $CEF$ y $ABF$ se encuentran de nuevo en el punto $P$ . Pruebe que los circuncírculos de los triángulos $BDF$ y $BEP$ son tangentes entre sí.

G2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $\omega$ su circuncírculo. La línea tangente a $\omega$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $D$ y sea $E$ un punto en $\omega$ tal que $BE$ es paralelo a $AD$ . $DE$ interseca el segmento $AB$ y $\omega$ en $F$ y $G$ , respectivamente. El circuncírculo de $BGF$ interseca a $BE$ en $N$ . La línea $NF$ interseca las líneas $AD$ y $EA$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Pruebe que $DGST$ es cíclico.

G1 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circuncírculo $\Omega$ . $\Gamma$ es el círculo que pasa por $O,B$ y es tangente a $AB$ en $B$ . Sea $\Gamma$ que interseca a $\Omega$ una segunda vez en $P \neq B$ . El círculo que pasa por $P,C$ y es tangente a $AC$ en $C$ se interseca con $\Gamma$ en $M$ . Pruebe que $|MP|=|MC|$ .

C5 Considere una secuencia creciente de números reales $a_1<a_2<\ldots<a_{2023}$ tal que todas las sumas por pares de los elementos en la secuencia son diferentes. Para tal secuencia, denote por $M$ el número de pares $(a_i,a_j)$ tal que $a_i<a_j$ y $a_i+a_j<a_2+a_{2022}$ . Encuentre el valor mínimo y el valor máximo posible de $M$ .

C4 Anna y Bob están jugando el siguiente juego: El número $2$ está inicialmente escrito en la pizarra. Con Anna jugando primero, alternativamente duplican el número actualmente escrito en la pizarra o lo elevan al cuadrado. La persona que primero escribe en la pizarra un número mayor que $2023^{10}$ es el ganador. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, con Alice comenzando primero. Inicialmente la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no está escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntaje es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntaje es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntaje es mayor que el puntaje de Bob, Bob gana si su puntaje es mayor que el puntaje de Alice, de lo contrario nadie gana. Encontrar si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y si es así, qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Hay $n$ bloques colocados en los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $n \times n$ de tal manera que hay exactamente un bloque en cada fila y cada columna. Encontrar el valor máximo $k$ , en términos de $n$ , tal que sin importar cómo estén dispuestos los bloques, podemos colocar $k$ torres en el tablero sin que dos de ellas se amenacen entre sí. (Dos torres no se amenazan entre sí si hay un bloque entre ellas).