Kiko y Ñoño juegan con una varilla de longitud $2n$ donde $n \le 3$ es un entero. Kiko corta la varilla en $k \le 2n$ piezas de longitudes enteras. Entonces Ñoño tiene que organizar estas piezas para que formen un hexágono de lados opuestos iguales y ángulos iguales. Las piezas no se pueden dividir y todas tienen que ser utilizadas. Si Ñoño logra su objetivo, gana, en cualquier otro caso, Kiko gana. Determine qué victoria se puede asegurar basándose en $k$.

El Chapulín observó que el número $2014$ tiene una propiedad inusual. Al colocar sus ocho divisores positivos en orden creciente, el quinto divisor es igual a tres veces el tercero menos $4$. Un número de ocho divisores con esta propiedad inusual se llama número rojo. ¿Cuántos números rojos menores que $2014$ existen?

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones:\n$\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$.\n$\bullet$ $A \cup B \cup C = \{1, 2, ..., n\}$.\n$\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al dividirlos por $3$.\nNota: Uno o más de los conjuntos pueden estar vacíos.

Versión 1. Encuentra todos los primos $p$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(i) $\frac{p+1}{2}$ es un número primo.\n(ii) Hay al menos tres enteros positivos distintos $n$ para los cuales $\frac{p^2+n}{p+n^2}$ es un entero. \nVersión 2. Sea $p \neq 5$ un número primo tal que $\frac{p+1}{2}$ también es un primo. Suponga que existen enteros positivos $a <b$ tales que $\frac{p^2+a}{p+a^2}$ y $\frac{p^2+b}{p+b^2}$ son enteros. Demuestra que $b=(a-1)^2+1$ .

Encuentra el entero positivo más grande $k$ tal que podamos encontrar un conjunto $A \subseteq \{1,2, \ldots, 100 \}$ con $k$ elementos tal que, para cualquier $a,b \in A$ , $a$ divide a $b$ si y solo si $s(a)$ divide a $s(b)$ , donde $s(k)$ denota la suma de los dígitos de $k$ .

El triángulo $ABC$ se secciona mediante $AD,BE$ y $CF$ (donde $D \in (BC), E \in (CA)$ y $F \in (AB)$ ) en siete polígonos disjuntos llamados regiones . En cada uno de los nueve vértices de estas regiones escribimos un dígito, de modo que cada dígito distinto de cero aparece exactamente una vez. Asignamos a cada lado de una región el mínimo común múltiplo de los dígitos en sus extremos, y a cada región el máximo común divisor de los números asignados a sus lados. Encuentra el valor más grande posible del producto de los números asignados a las regiones.

Sea $A$ un subconjunto de $\{2,3, \ldots, 28 \}$ tal que si $a \in A$ , entonces el residuo obtenido cuando dividimos $a^2$ por $29$ también pertenece a $A$ . Encuentra el valor mínimo posible de $|A|$ .

Un entero positivo se llama Tiranio si se puede escribir como $x^2+6xy+y^2$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos (no necesariamente distintos). El entero $36^{2023}$ se escribe como la suma de $k$ enteros Tiranios. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $k$ ?

Encuentra todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ son ambas potencias de $5$.

Sean $D$ y $E$ puntos arbitrarios en los lados $BC$ y $AC$ del triángulo $ABC$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $\triangle ADC$ se encuentra por segunda vez con la circunferencia circunscrita de $\triangle BCE$ en el punto $F$. La línea $FE$ se encuentra con la línea $AD$ en el punto $G$, mientras que la línea $FD$ se encuentra con la línea $BE$ en el punto $H$. Demuestre que las líneas $CF, AH$ y $BG$ pasan por el mismo punto.