Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo tal que $ AB+CD=BC+DE$ y $ k$ un círculo con centro en el lado $ AE$ que toca los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CD$ y $ DE$ en los puntos $ P$ , $ Q$ , $ R$ y $ S$ (diferentes de los vértices del pentágono) respectivamente. Demuestre que las líneas $ PS$ y $ AE$ son paralelas.

Dado un número entero positivo $n$ ( $n\ne 0$ ) , sea $f(n)$ el promedio de todos los divisores positivos de $n$ . Por ejemplo, $f(3)=\frac{1+3}{2}=2$ , y $f(12)=\frac{1+2+3+4+6+12}{6}=\frac{14}{3}$ . a Demuestre que $\frac{n+1}{2} \ge f(n)\ge \sqrt{n}$ . b Encuentre todos los $n$ tales que $f(n)=\frac{91}{9}$ .

Dado un cuadrado $ABCD$ con lado $1$ , y un cuadrado dentro de $ABCD$ con lado $x$ , encuentre (en términos de $x$ ) el radio $r$ del círculo tangente a dos lados de $ABCD$ y toca el cuadrado con lado $x$. (Ver imagen).

Un juego consiste en $9$ monedas (negras o blancas) dispuestas en la siguiente posición (ver imagen 1). Si elige $1$ moneda en el borde del cuadrado, esta moneda y sus vecinos cambian de color. Si elige la moneda en el centro, no cambia de color, pero las otras $8$ monedas sí. Aquí hay un ejemplo de $9$ monedas blancas y los cambios de sus colores, eligiendo la moneda dicha: (ver imagen 2). ¿Es posible, comenzando con $9$ monedas blancas, tener $9$ monedas negras?.

Se sabe que el número de soluciones reales del siguiente sistema es finito. Demuestre que este sistema tiene un número par de soluciones: $(y^2+6)(x-1)=y(x^2+1)$ $(x^2+6)(y-1)=x(y^2+1)$

Dos personas, $A$ y $B$, juegan el siguiente juego: $A$ comienza eligiendo un número entero positivo y luego, cada jugador en su turno, dice un número debido a la siguiente regla: Si el último número dicho era impar, el jugador suma $7$ a este número; Si el último número dicho era par, el jugador lo divide por $2$. El ganador es el jugador que repite el primer número dicho. Encuentre todos los números que $A$ puede elegir para ganar. Justifique su respuesta.

Sean $A, B$ y $C$ tres puntos no colineales y $E$ ($\ne B$) un punto arbitrario no en la línea recta $AC$. Construya los paralelogramos $ABCD$ y $AECF$. Demuestre que $BE \parallel DF$.

Sea $n \in N$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}(1 + 2 + ... + n)$ y $1 + 2 + ... + (a_1+ a_2) \le \frac{2}{3}(1 + 2 + ... + n)$. Pruebe que existe una partición de $\{1, 2, ..., n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $|A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.

En el segmento $AC$ se toma un punto $B$. Construya círculos $T_1, T_2$ y $T_3$ de diámetros $AB, BC$ y $AC$ respectivamente. Una línea que pasa por $B$ corta a $T_3$ en los puntos $P$ y $Q$, y a los círculos $T_1$ y $T_2$ respectivamente en los puntos $R$ y $S$. Pruebe que $PR = QS$.

Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si es cierto que $b + k$ es múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Pruebe que hay un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.