Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demostrar que para cada entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $L$ y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $N$. Desde $L$ se dibujan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales.

Sea $p_n(k)$ el número de permutaciones del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que tienen exactamente $k$ puntos fijos. Demostrar que $\sum_{k=0}^n k p_n(k)=n!$ .

Sean $P,Q,R$ tres puntos en un círculo $k_1$ con $|PQ|=|PR|$ y $|PQ|>|QR|$ . Sea $k_2$ el círculo con centro en $P$ que pasa por $Q$ y $R$ . El círculo con centro $Q$ que pasa por $R$ interseca a $k_1$ en otro punto $X\ne R$ e interseca a $k_2$ en otro punto $Y\ne R$ . Los dos puntos $X$ y $R$ se encuentran en diferentes lados de la línea que pasa por $PQ$ . Demuestre que los tres puntos $P$ , $X$ , $Y$ se encuentran en una línea común.

Demuestre que todos los números reales positivos $a,b,c$ con $a+b+c=4$ satisfacen la desigualdad $$\frac{ab}{\sqrt[4]{3c^2+16}}+ \frac{bc}{\sqrt[4]{3a^2+16}}+ \frac{ca}{\sqrt[4]{3b^2+16}} \le\frac43 \sqrt[4]{12}$$

Sea $S$ un conjunto de $n\ge2$ enteros positivos. Demuestre que existen al menos $n^2$ enteros que pueden escribirse en la forma $x+yz$ con $x,y,z\in S$ .

Determine todos los enteros $m\ge2$ para los cuales existe un entero $n\ge1$ con $\gcd(m,n)=d$ y $\gcd(m,4n+1)=1$ .

Cada uno de los 2009 puntos distintos en el plano está coloreado de azul o rojo, de modo que en cada círculo unitario centrado en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Encuentre el mayor número posible de puntos azules.

Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales tales que $ 0 < x,y,z < 1$ y $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ . Demuestre que al menos uno de los números $ (1 - x)y,(1 - y)z,(1 - z)x$ es mayor o igual que $ \frac {1}{4}$

Resuelva en enteros no negativos la ecuación $ 2^{a}3^{b} + 9 = c^{2}$