Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro, $S$ su baricentro y $H$ su ortocentro. Denotemos por $A_1, B_1$ y $C_1$ los centros de las circunferencias circunscritas alrededor de los triángulos $CHB, CHA$ y $AHB$ , respectivamente. Demuestra que el triángulo $ABC$ es congruente al triángulo $A_1B_1C_1$ y que la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle ABC$ es también la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle A_1B_1C_1$.

Sea $m$ un entero positivo y $x_0, y_0$ enteros tales que $x_0, y_0$ son relativamente primos, $y_0$ divide a $x_0^2+m$ , y $x_0$ divide a $y_0^2+m$ . Demuestra que existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x$ e $y$ son relativamente primos, $y$ divide a $x^2 + m$ , $x$ divide a $y^2 + m$ , y $x + y \leq m+ 1$.

Se eligen los puntos $D$ y $E$ en los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que si $F$ es el punto de intersección de $BE$ y $CD$ , entonces $AE + EF = AD + DF$ . Demuestra que $AC + CF = AB + BF$.

¿Existen 16 números de tres dígitos, usando sólo tres dígitos diferentes en todos, de modo que todos los números den residuos diferentes cuando se dividen por 16?

Encontrar todos los pares de enteros positivos $ (x,y)$ tales que\n\[ x^y = y^{x - y}.\n\]

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=AE=CD=1$ , $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ y $BC+DE=1$ . Calcular el área del pentágono.

Demostrar que el número $\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ (el cual tiene 1997 unos y 1998 doses) es un cuadrado perfecto.

Sea $n\ge2$ un entero. Demostrar que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$.

Sea $n\ge3$ un entero. Demostrar que existe un conjunto de $n$ puntos en el plano tales que la distancia entre dos puntos cualesquiera es irracional y cada conjunto de tres puntos determina un triángulo no degenerado con área racional.

Demostrar que no existe una función $f$ del conjunto de enteros no negativos en sí mismo tal que $f(f(n))=n+1987$ para todo $n$.