Los enteros $a_1, a_2, . . . , a_n$ satisfacen $|a_k| = 1$ y \[ \sum_{k=1}^{n} a_ka_{k+1}a_{k+2}a_{k+3} = 2,\] donde $a_{n+j} = a_j$ . Demuestra que $n \neq 1992.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ . Se construyen triángulos equiláteros en los lados del cuadrilátero. Sean $O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos en $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestra que $O_1O_3$ es perpendicular a $O_2O_4.$

Dado un triángulo $ABC$ tal que el circuncentro está en el interior del incírculo, prueba que el triángulo $ABC$ es acutángulo.

Sea $\phi(n,m), m \neq 1$ , el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ que son coprimos con $m.$ Claramente, $\phi(m,m) = \phi(m)$ , donde $\phi(m)$ es la función phi de Euler. Encuentra todos los enteros $m$ que satisfacen la siguiente desigualdad: \[\frac{\phi(n,m)}{n} \geq \frac{\phi(m)}{m}\] para cada entero positivo $n.$

Considere $9$ puntos en el espacio, no cuatro de los cuales son coplanarios. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de línea) y cada arista está coloreada de azul o rojo o se deja sin colorear. Encuentre el valor más pequeño de $\,n\,$ tal que siempre que se coloreen exactamente $\,n\,$ aristas, el conjunto de aristas coloreadas contiene necesariamente un triángulo todas cuyas aristas tienen el mismo color.

Las diagonales de un cuadrilátero $ABCD$ son perpendiculares: $AC\perp BD$ . Cuatro cuadrados, $ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL$ , se erigen externamente sobre sus lados. Los puntos de intersección de los pares de líneas rectas $CL,DF; DF,AH; AH,BJ; BJ,CL$ se denotan por $P_1,Q_1,R_1, S_1$ , respectivamente, y los puntos de intersección de los pares de líneas rectas $AI,BK; BK,CE;$ $ CE,DG; DG,AI$ se denotan por $P_2,Q_2,R_2, S_2$ , respectivamente. Demuestre que $P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2.$

Dados dos números reales positivos $a$ y $b$ , suponga que una función $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ satisface la ecuación funcional \[f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x.\] Demuestre que existe una solución única de esta ecuación.

Sea $X$ un conjunto acotado no vacío de puntos en el plano cartesiano. Sea $f(X)$ el conjunto de todos los puntos que están a una distancia de como máximo $1$ de algún punto en $X$ . Sea $f_n(X) = f(f(\cdots(f(X))\cdots))$ ( $n$ veces). Demuestre que $f_n(X)$ se vuelve 'más circular' a medida que $n$ se hace más grande. En otras palabras, si $r_n = \sup\{\text{radios de círculos contenidos en } f_n(X) \}$ y $R_n = \inf \{\text{radios de círculos que contienen } f_n(X)\}$ , entonces demuestre que $R_n/r_n$ se acerca arbitrariamente a $1$ a medida que $n$ se hace arbitrariamente grande.

Sean $I,H,O$ el incentro, baricentro y circuncentro del triángulo no isósceles $ABC$. Demuestra que $AI \parallel HO$ si y solo si $\angle BAC =120^{\circ}$.

Sean $p, q$ y $r$ los ángulos de un triángulo, y sean $a = \sin2p, b = \sin2q$ y $c = \sin2r$ . Si $s = \frac{(a + b + c)}2$ , demuestra que \[s(s - a)(s - b)(s -c) \geq 0.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?