(a) Demostrar que existe exactamente una función $ f : \mathbb Q^+ \to \mathbb Q^+$ que satisface las siguientes condiciones:\n(i) si $0 < q < \frac 12$ , entonces $f(q)=1+f \left( \frac{q}{1-2q} \right);$\n(ii) si $1 < q \leq 2$ , entonces $f(q) = 1+f(q + 1);$\n(iii) $f(q)f(1/q) = 1$ para todo $q \in \mathbb Q^+.$\n(b) Encontrar el número racional más pequeño $q \in \mathbb Q^+$ tal que $f(q) = \frac{19}{92}.$

Un número egipcio es un entero positivo que se puede expresar como una suma de enteros positivos, no necesariamente distintos, tales que la suma de sus recíprocos es $1$ . Por ejemplo, $32 = 2 + 3 + 9 + 18$ es egipcio porque $\frac 12 +\frac 13 +\frac 19 +\frac{1}{18}=1$ . Demostrar que todos los enteros mayores que $23$ son egipcios .

Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$, se define como el entero más grande tal que, para cada entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$, se puede escribir como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos.\na.) Demostrar que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$ .\nb.) Encontrar un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$ .\nc.) Demostrar que hay infinitos enteros $\,n\,$ tales que $S(n)=n^{2}-14.$

Demostrar que si $x,y,z >1$ y $\frac 1x +\frac 1y +\frac 1z = 2$ , entonces $\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.$

Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos de puntos en el plano y $M$ un conjunto de segmentos que conectan puntos de $X$ e $Y$ . Sea $k$ un número natural. Demuestra que los segmentos de $M$ se pueden pintar usando $k$ colores de tal manera que para cualquier punto $x \in X \cup Y$ y dos colores $\alpha$ y $\beta$ $(\alpha \neq \beta)$ , la diferencia entre el número de segmentos coloreados con $\alpha$ y el número de segmentos coloreados con $\beta$ que se originan en $X$ es menor o igual a $1$ .

Denotemos por $a_n$ al mayor número que no es divisible por $3$ y que divide a $n$ . Consideremos la sucesión $s_0 = 0, s_n = a_1 +a_2+\cdots+a_n, n \in \mathbb N$ . Denotemos por $A(n)$ el número de todas las sumas $s_k \ (0 \leq k \leq 3^n, k \in \mathbb N_0)$ que son divisibles por $3$ . Demuestra la fórmula \[A(n) = 3^{n-1} + 2 \cdot 3^{(n/2)-1} \cos \left(\frac{n\pi}{6}\right), \qquad n\in \mathbb N_0.\]

Los números de Fibonacci se definen de la siguiente manera: $F_0 = F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1}+F_n, n \geq 0$ . Sea $a_n$ el número de palabras que constan de $n$ letras $0$ o $1$ y no contienen dos letras $1$ a distancia dos una de la otra. Expresa $a_n$ en términos de números de Fibonacci.

En el plano, sea $\,C\,$ un círculo, $\,L\,$ una línea tangente al círculo $\,C,\,$ y $\,M\,$ un punto en $\,L$ . Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos $\,P\,$ con la siguiente propiedad: existen dos puntos $\,Q,R\,$ en $\,L\,$ tales que $\,M\,$ es el punto medio de $\,QR\,$ y $\,C\,$ es el círculo inscrito del triángulo $\,PQR$ .

Encuentra todas las ternas $(x, y, z)$ de enteros tales que \[\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2} =\frac 23\]

Prueba que existen $78$ rectas en el plano tales que tienen exactamente $1992$ puntos de intersección.